Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

• Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } Menge der ganzen Zahlen. • Q ist die Menge der Brüche {0, ± 1, ±1, ± 2 , ...}, auch rationale Zahlen genannt. 2 3 • Menge aller Studenten in Mainz (∼ 35.100). • Menge aller Atome auf der Erde (∼ 10 50 ). • Menge der Atome <strong>im</strong> Weltall (∼ 10 80 ). • Q + = Q ≥0 = {x ∈ Q | x ≥ 0}, Q >0 = {x ∈ Q | x > 0}. Ebenso R + = R ≥0 und R >0 . • Intervalle [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} (abgeschlossen), ]a, b[= (a, b) = {x ∈ R | a < x < b} (offen), [a, b[= [a, b) und ]a, b] = (a, b] (halboffen). • Die leere Menge ∅ = {}, die kein Element enthält. Bemerkung 1.3. Vorsicht: Nicht jede abstrakte Sammlung von Objekten ist eine Menge, z.B. gibt es nicht eine Menge M aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten (oder den Barbier, der genau die Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren). Dies ist die sogenannte Russellsche Antinomie. Die Zermelo– Fraenkel Axiome der Mengenlehre sorgen dafür, dass man solche Mengen nicht bilden darf. Für jede Menge M ist aber nach den Axiomen {x ∈ M | A(x) wahr} wieder eine Menge, falls A(x) eine logische Aussage ist (siehe unten). Insbesondere gibt es keine Menge aller Mengen U, denn sonst könnte man die Russelsche Antinomie mit der Menge M = {x ∈ U | x /∈ x} realisieren. Es gibt aber die sog. Kategorie der Mengen. Definition 1.4 (Summen- und Produktzeichen). Später werden wir viele Mengen kennenlernen, auf denen man (assoziativ) addieren (oder multiplizieren) kann, z.B. 1 + 2 = 3 in N usw. Das Summenzeichen wird als Abkürzung für mehrfaches Addieren eingeführt: Sind a 1 , a 2 , . . . , a n Elemente, so ist a 1 + a 2 + · · · + a n =: n∑ a i (Definition von ∑ ) i=1 = ∑ i∈I a i , I = {1, . . . , n}. Hier kann man auch eine beliebige Indexmenge I zulassen, sofern die Summe dann definiert ist. Das endliche bzw. unendliche Produkt wird mit a 1 · a 2 · · · a n = 4
∏ n i=1 bzw. ∏ i∈I a i bezeichnet. Nach Konvention ist ∑ = 0, ∅ ∏ = 1. ∅ Definition 1.5 (Sinnvolle Abkürzungen). • ∀: für alle • ∃: es existiert • ∃!: es existiert genau ein • ∄: es existiert kein Definition 1.6. (Logische Aussagen) Eine logische Aussage ist eine Äußerung, die ohne Zweifel entweder wahr oder falsch ist: • ,,Heute ist Mittwoch”. • ,,2 > 1”. • ,, √ 2 ∈ Q”. • ab = 0 ⇐⇒ a = 0 ∨ b = 0. • ∃x ∈ A mit x > 0. • ∀ y ∈ M gilt y 2 ≥ 0. Die erste Aussage ,,Heute ist Mittwoch” hängt allerdings vom jeweiligen Wochentag ab. ,,Mathematik ist schwer” ist z.B. keine wohldefinierte Aussage. In der Regel betrachten wir nur Aussagen, die in der genauen Sprache der Mathematik formuliert sind. Definition 1.7 (Logische Verknüpfungen). A, B seien Aussagen. • A =⇒ B: aus A folgt B • A ⇐⇒ B: A genau dann, wenn B • A ∨ B: A oder B • A ∧ B: A und B • ¬ A: Nicht A (NEGATION) 5
Seite 1 und 2: Skript zur Vorlesung Analysis 1 im
Seite 3: 1 Die Sprache der Mathematik Inhalt
Seite 7 und 8: Definition 1.9 (Teilmengen). Seien
Seite 9 und 10: (b) surjektiv genau dann, wenn Mit
Seite 11 und 12: Aufgaben Aufgabe 1. Schreiben Sie d
Seite 13 und 14: 3. Zeigen Sie, f(f −1 (V )) ⊆ V
Seite 15 und 16: Der Widerspruchsbeweis Bei dieser b
Seite 17 und 18: Beweis (Satz). Induktion über n mi
Seite 19 und 20: Satz 2.12. Die Anzahl der Permutati
Seite 21 und 22: Aufgabe 28. Bestimmen Sie ein n 0 ,
Seite 23 und 24: Bemerkung 3.2. All diese Regeln hä
Seite 25 und 26: Definition 3.5 (Absolutbetrag). Ist
Seite 27 und 28: Die rationalen Zahlen als angeordne
Seite 29 und 30: Beweis. Vollständige Induktion. In
Seite 31 und 32: mit a i ∈ N. Solche Darstellungen
Seite 33 und 34: 4 Folgen und Grenzwerte Inhalt: Fol
Seite 35 und 36: Beispiel 4.12. Sei q > 0. Die Folge
Seite 37 und 38: Axiom 4.21 (Intervallschachtelungsp
Seite 39 und 40: Definition 4.26 (Uneigentliche Konv
Seite 41 und 42: Daher ist x n monoton fallend und b
Seite 43 und 44: 2. Geben Sie ein Beispiel für eine
Seite 45 und 46: Beispiel 5.4. q = 1 2 , dann ∑ n
Seite 47 und 48: Satz 5.13 (Majorantenkriterium). Se
Seite 49 und 50: Beweis. Quotientenkriterium: | a n+
Seite 51 und 52: Beweis. Die erste Behauptung folgt
Seite 53 und 54: Die Formel exp(iϕ) = cos(ϕ) + i s
Seite 55 und 56:
Aufgabe 73. Zeigen Sie, dass das Ha
Seite 57 und 58:
Aufgabe 87. Bestimmen Sie {z ∈ C
Seite 59 und 60:
• Ist M = R n mit Abstandsfunktio
Seite 61 und 62:
Satz 6.10 (Zwischenwertsatz). Sei f
Seite 63 und 64:
Jedoch gilt dies auf Intervallen de
Seite 65 und 66:
Rechenregeln: • a x · a y = a x+
Seite 67 und 68:
Aufgabe 98. Beweisen Sie, dass f(x)
Seite 69 und 70:
7 Differenzialrechnung Inhalt: Diff
Seite 71 und 72:
folgt, dass sin(x) = x + r 3 (x) :=
Seite 73 und 74:
Beispiele 7.10. Damit können wir a
Seite 75 und 76:
Bemerkung 7.16. Die Bedingung f ′
Seite 77 und 78:
Es ist aber x − x 1 = (1 − λ)(
Seite 79 und 80:
Satz 7.24. Sei f : [a, b] −→ R
Seite 81 und 82:
Aufgabe 124. Die Funktion h : (a, b
Seite 83 und 84:
8 Integralrechnung Inhalt: Treppenf
Seite 85 und 86:
Satz 8.8. Im Folgenden seien f, g :
Seite 87 und 88:
• f(x) = x und x k = k (siehe obe
Seite 89 und 90:
Satz 8.19. (a) Sei f : [c, d] −
Seite 91 und 92:
U n := n∑ f(x k−1 )(x k − x k
Seite 93 und 94:
9 Taylor- und Fourierreihen Inhalt:
Seite 95 und 96:
Funktionen- und Potenzreihen Sei K
Seite 97 und 98:
Beispiel 9.15. f(x) = exp(−1/x 2
Seite 99 und 100:
Der Fall x = 1 ist etwas schwierige
Seite 101 und 102:
allgemeiner, falls die Reihe gleich
Alle anzeigen

Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?