Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

mit a i ∈ N. Solche Darstellungen sind fast eindeutig, bis auf folgende Ausnahme:
Es gibt ein n 0 ∈ N, so dass a i = 9 für alle n ≥ n 0 . Zum Beispiel ist die Zahl
0.199999 . . . = 0.2. Nehmen wir an, dass ]0, 1[:= {x ∈ R | 0 < x < 1} abzählbar
wäre und als Liste
x 1 = 0.a 11 a 12 . . .
x 2 = 0.a 21 a 22 . . .
geschrieben werden kann. Definiere dann eine neue Zahl z = 0.c 1 c 2 . . . ∈]0, 1[
durch die Vorschrift c i = a nn + 2, falls a nn < 5 und c i = a nn − 2, falls a nn ≥ 5.
Dann gilt offenbar |c n −a nn | ≥ 2 und damit |z −x n | ≥ 10 −n . Insbesondere taucht
z nicht in dieser Liste auf. Widerspruch! Diese Methode wird Cantorsches Diagonalverfahren
genannt.
(3) In R gilt das Axiom der Ordnungsvollständigkeit. Q erfüllt dieses Axiom
nicht, da die Menge {x ∈ Q >0 | x 2 > 2} kein Infimum in Q hat.
Lemma 3.30. Ist r eine reelle Zahl und ɛ > 0. Dann gibt es eine rationale Zahl q
mit |q − r| < ɛ. Man sagt auch: die rationalen Zahlen liegen dicht in R.
Beweis. Mit der Dezimaldarstellung: r = ± ∗ ∗ . . . a 0 .a 1 a 2 . . .. Es gibt ein n ∈ N
mit 10 −n < ɛ nach Satz 3.22. Setze q = ± ∗ ∗ . . . a 0 .a 1 a 2 . . . a n .
Aufgaben
Aufgabe 36. Beweisen Sie, dass die Brüche eine Äquivalenzrelation darstellen
und zeigen Sie, dass die Addition und Multiplikation von Brüchen nicht von der
Wahl eines Repräsentanten abhängt.
Aufgabe 37. Berechnen Sie die rationalen Zahlen ∑ 100
k=0
als gekürzte Brüche.
( 1
2 k − 1
2 k+1 )
und
∏ 100
k=0
Aufgabe 38. Erklären Sie auf einer vierelementigen Menge F = {0, 1, 2, 3} eine
Addition + und eine Multiplikation ∗, so dass (F, +, ∗) ein Körper mit Nullelement
0 und Einselement 1 ist. Gibt es mehrere Möglichkeiten der Definition von
Addition bzw. Multiplikation
Aufgabe 39. Eine Menge Ω von (möglicherweise auch unendlich vielen) Symbolen
a 1 , a 2 , a 3 . . . wird Alphabet genannt. Ein Wort w über dem Alphabet Ω ist
eine endliche Folge a w1 a w2 . . . a wn mit a wi ∈ Ω. Man zeige, dass die Menge aller
Worte über einem abzählbaren Alphabet abzählbar ist.
Aufgabe 40. Auf M := {(a, b)|
Multiplikation ⊗ erklärt durch
a, b ∈ Q} seien eine Addition ⊕ und eine
(a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d),
(a, b) ⊗ (c, d) := (ac + 5bd, ad + bc).
( k+1
) 3
k+2
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