Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Bemerkung 7.16. Die Bedingung f ′ (x) = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend,
Beispiel: f(x) = x 3 . Die ɛ-Bedingung in der Voraussetzung ist wichtig,
denn am Rand muss die Ableitung auch bei einem lokalen Extremum nicht Null
sein (Beispiel f(x) = x auf Intervall [0, 1]).
Satz 7.17 (Satz von Rolle).
Ist f : [a, b] −→ R stetig mit f(a) = f(b) und differenzierbar in ]a, b[. Dann
existiert ein ξ ∈]a, b[ mit f ′ (ξ) = 0.
Beweis. 1. Fall: f ist konstant. Dann folgt die Behauptung sofort.
2. Fall: Ist f nicht konstant, so wird entweder das globale Maximum oder das
globale Minimum nicht am Rand angenommen. In jedem Fall gibt es also ein
globales Extremum in ξ ∈]a, b[. Nach Satz 7.15 gilt dann aber f ′ (ξ) = 0.
Eine Folgerung ist:
Satz 7.18 (Mittelwertsatz).
Sei f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar auf ]a, b[. Dann gibt es ein ξ ∈]a, b[
mit
f ′ f(b) − f(a)
(ξ) = .
b − a
Beweis. Wende auf die Hilfsfunktion
h(x) = f(x) −
f(b) − f(a)
(x − a)
b − a
den Satz 7.17 von Rolle an (Voraussetzungen sind erfüllt). Es gilt dann h ′ (ξ) = 0,
d.h. f ′ (ξ) = f(b)−f(a) für ein ξ ∈]a, b[.
b−a
Satz 7.19 (Folgerungen aus dem Mittelwertsatz).
(a) Ist f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar auf ]a, b[ mit
so gilt auch
c ≤ f ′ (ξ) ≤ C, ∀ξ ∈]a, b[,
c(y − x) ≤ f(y) − f(x) ≤ C(y − x)
für alle x, y ∈ [a, b] mit x ≤ y.
(b) Ist f : [a, b] −→ R stetig und differenzierbar auf ]a, b[ mit f ′ (x) = 0 für alle
x ∈]a, b[. Dann ist f konstant.
(c) Ist f stetig auf [a, b] und differenzierbar in ]a, b[ und f ′ (x) ≥ 0 (bzw. > 0, ≤ 0,
< 0) überall in ]a, b[, so ist f in [a, b] monoton wachsend (bzw. streng monoton
wachsend, monoton fallend, streng monoton fallend).
(d) Ist f stetig auf [a, b] und differenzierbar in ]a, b[ sowie monoton wachsend
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