Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

folgt, dass
sin(x) = x + r 3 (x) := x + x3
3!
(1 − x2
4 · 5 + x 4
4 · 5 · 6 · 7 − · · · )
.
Nach dem Trick aus dem Beweis des Leibnizkriteriums bekommt man daraus
sofort, dass |r 3 (x)| ≤ |x| 3 /3! für kleines |x| und damit sofort die Behauptung.
Beispiele 7.6.
(8) Analog erhält man cos ′ (x) = − sin(x), denn cos(x+h)−cos(x) = −2 sin(x+
h
2 ) sin( h 2 ). Also folgt cos′ (x) = − sin(x).
(9) Die Funktion f(x) = |x| ist nicht differenzierbar bei x = 0, denn mit der
Folge x n = (−1) n 1 n existiert der Limes f ′ (x) nicht.
Satz 7.7.
(a) f : D −→ R ist differenzierbar in a ∈ D ⇔ es gibt ein c ∈ R mit
f(x) = f(a) + c(x − a) + o(x − a)
für x → a (Approximation durch Tangente).
(b) Jede differenzierbare Funktion ist stetig.
(c) Sind f, g : D −→ R differenzierbar in a, so sind auch f ± g, fg, λf + µg und
f/g differenzierbar und es gilt
(f ± g) ′ (a) = f ′ (a) ± g ′ (a),
(λf + µg) ′ (a) = λf ′ (a) + µg ′ (a),
(fg) ′ (a) = f ′ (a)g(a) + f(a)g ′ (a)
( ) ′ f
(a) = f ′ (a)g(a) − f(a)g ′ (a)
g
g 2 (a)
Dies ist nur definiert in D \ {a | g(a) = 0}.
Produktregel,
Quotientenregel.
Beweis. (a) =⇒: Setze c = f ′ (a) und definiere ϕ(x) = f(x) − f(a) − c(x − a).
Dann gilt
ϕ(x)
x − a
=
f(x) − f(a)
x − a
− f ′ (a),
also lim ϕ(x) = 0 und damit ϕ(x) = o(x−a) nach Definition des Landausymbols.
x−a
⇐=: Sei f(x) = f(a) + c(x − a) + ϕ(x) mit ϕ(x) = o(x − a). Dann existiert
auch
f ′ f(x) − f(a)
(a) = lim = c + lim ϕ(x)
x − a
x − a = c
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