Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Satz 7.24.
Sei f : [a, b] −→ R 2–Mal differenzierbar und konvex mit f(a) < 0 und f(b) > 0.
Dann gilt:
(a) Es gibt genau ein ξ ∈]a, b[ mit f(ξ) = 0.
(b) Ist x 0 ∈ [a, b] beliebiger Anfangswert und f(x 0 ) ≥ 0, dann ist die Folge (x n )
(siehe oben) monoton fallend und konvergent gegen ξ. Insbesondere ist f ′ (x n ) ≠
0.
(c) Fehlerabschätzung: Ist f ′ (ξ) = C > 0 und f ′′ (x) ≤ K auf [a, b], so gilt
quadratische Konvergenz:
|x n+1 − x n | ≤ |ξ − x n | ≤ K/2C|x n − x n−1 | 2 .
Ist K/2C = 1 etwa, so verdoppelt sich die Genauigkeit der Dezimalstellen bei
jedem Schritt.
Beweis. Nur für den Spezialfall f(x) = x k − a : R + −→ R, a > 0. Dann gilt
f ′ (x) = kx k−1 und f ′′ (x) = k(k − 1)x k−2 ≥ 0 für x ∈ R + . Also ist
x n+1 = x n − f(x n)
f ′ (x n ) = 1 (
(k − 1)x n + a )
.
k
x k−1
n
Diese Folge ist uns aus §4 bekannt und wurde dort für k = 2 bereits auf Konvergenz
untersucht. Sie konvergiert gegen ξ = k√ a.
Aufgaben
Aufgabe 110. (a) Geben Sie eine Formel für die beiden Umkehrfunktionen cosh −1 (x)
und sinh −1 (x) an.
(b) Berechnen Sie die Ableitungen dieser Umkehrfunktionen.
Aufgabe 111. Leiten Sie die folgenden Funktionen ab:
x sin(x2) , arctan(arcsin(log(x))), x exp(x) , sin(arccos(x)).
Aufgabe 112. Stellen Sie eine Formel für die n–te Ableitung von log(x) auf und
beweisen Sie diese Formel.
Aufgabe 113. Beweisen Sie: Die Ableitung einer geraden (ungeraden) Funktion
ist ungerade (gerade).
Aufgabe 114. Beweisen Sie durch vollständige Induktion die folgenden Beziehungen
für n–fache Ableitungen:
d n
n∑
( n
n∑
( )
dx n (f(x)g(x)) = k)f (n−k) (x)g (k) (x), f(x) dn
n d
dx n g(x) = (−1) k n−k ( )
k dx n−k f (k) (x)g(x) .
k=0
79
k=0