Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Aufgabe 98. Beweisen Sie, dass f(x) = x 2 stetig ist, indem Sie die ε − δ–
Definition direkt verwenden.
Aufgabe 99. (a) Zeigen Sie: sin(x) = ∑ n
|x| 2n+3
für |x| ≤ 2n + 4.
(2n+3)!
sin(x)
(b) Beweisen Sie mit (a) lim x→0 = 1.
x
x2k+1
k=0
(−1)k
(2k+1)! +R 2n+3(x) mit |R 2n+3 (x)| ≤
Aufgabe 100. Sei 〈−, −〉 : V × V → R ein positiv definites Skalarprodukt.
Zeigen Sie dass die Funktion || − || : V → R + mit ||v|| = √ 〈v, v〉 die folgenden
Eigenschaften erfüllt: (i) ||v|| ≥ 0 und ||v|| = 0 genau dann, wenn v = 0 ist. (ii)
||λ · v|| = |λ| · ||v|| sowie (iii) ||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||.
Aufgabe 101. Auf einer Menge M definiert man d(x, y) = 1, falls x ≠ y zwei
verschiedene Punkte in M sind und d(x, x) = 0. Zeigen Sie, dass (M, d) ein
metrischer Raum ist. Wie sehen die Kugeln B ε (a) für a ∈ M und ε > 0 aus
Aufgabe 102. In einem metrischen Raum (M, d) nennt man eine Menge U offen,
falls für jedes a ∈ U ein ε > 0 existiert, so dass B ε (a) ⊂ U. Zeigen Sie: Der
Durchschnitt zweier offener Mengen U, V und die Vereinigung beliebig vieler
offener Mengen ist wieder offen.
Aufgabe 103. Konstruieren Sie ein Beispiel einer Funktion, die stetig, aber nicht
Lipschitz stetig ist.
Aufgabe 104. (a) Zeigen Sie, dass die Funktionen cosh : R → R und sinh : R →
R definiert durch
cosh(x) := 1 (exp(x) + exp(−x))
2
sinh(x) := 1 (exp(x) − exp(−x))
2
stetige Funktionen sind.
(b) Auf welchem Definitionsbereich sind die Umkehrfunktionen cosh −1 (x) und
sinh −1 (x) von cosh(x) und sinh(x) definiert
Aufgabe 105. In welchen Punkten x ∈ R ist die Funktion
{ x
f : R → R, x → f(x) =
2 + 2x + 1 falls −1 ≤ x ≤ 0
1 − x sonst,
stetig
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