Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

und damit ist f differenzierbar.
(b) Folgt aus (a) sofort, denn lineare Funktionen sind stetig, also
lim f(x) = f(a) + lim ϕ(x) = f(a).
x→a x→a
(c) Linearität folgt sofort aus den entprechenden Sätzen für Folgen. Produktregel:
(fg) ′ (x) = lim
h→0
f(x + h)g(x + h) − f(x + h)g(x) + f(x + h)g(x) − f(x)g(x)
h
g(x + h) − g(x) f(x + h) − f(x)
= lim f(x+h) +g(x) lim
= f(x)g ′ (x)+f ′ (x)g(x).
h→0 h
h→0 h
Quotientenregel, Spezialfall f = 1:
( ) ′ (
1 1 1
(x) = lim
g
h→0 h g(x + h) − 1 )
g(x) − g(x + h)
= lim
g(x) h→0 g(x)g(x + h)h = − g′ (x)
g 2 (x) .
Mit der Produktregel folgt dann
( ) ′ ( ) ′ f 1
(x) = f(x) + f ′ 1
(x)
g
g(x) g(x) = f ′ (x)g(x) − f(x)g ′ (x)
.
g 2 (x)
Beispiele 7.8.
Aus der Quotientenregel folgt (1/x n ) ′ = −nx n−1 /x 2n = −nx −n−1 . Es gilt also
die Regel:
dx m
dx = mxm−1 ∀ m ∈ Z.
Aus der Quotientenregel folgt auch tan ′ (x) = 1 . Um neue Beispiele zu finden
betrachten wir wieder die
cos 2 (x)
Umkehrfunktionen.
Satz 7.9 (Ableitung der Umkehrfunktion).
Sei I ein Intervall und f : I −→ f(I) ⊆ R bijektiv, stetig und differenzierbar in
x 0 mit f ′ (x 0 ) ≠ 0, so dass die Umkehrfunktion g = f −1 ebenfalls stetig ist. Dann
ist g : f(I) −→ I differenzierbar in y 0 = f(x 0 ) und es gilt:
g ′ (y 0 ) = 1
f ′ (x 0 ) = 1
f ′ (g(y 0 )) .
Beweis. Da f und g bijektiv und stetig sind, entsprechen Folgen x n → x 0 in I
eindeutig den Folgen y n → y 0 = f(x 0 ) in f(I). Also gilt:
g ′ (y 0 ) = lim
y→y0
g(y) − g(y 0 )
y − y 0
x − x 0
= lim
x→x0 f(x) − f(x 0 ) = 1
f(x)−f(x
lim 0
= 1
)
x→x0
f ′ (x 0 ) .
x−x 0
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