Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Axiom 4.21 (Intervallschachtelungsprinzip).
Sei (I n ) eine Intervallschachtelung, für die lim(b n − a n ) = 0 gilt. Dann gibt es
genau ein x ∈ R mit
x ∈ ⋂ n≥0
I n ,
d.h. x ∈ I n für alle n. Auch das Intervallschachtelungsprinzip gilt nicht in Q
(gleiches Beispiel, wobei a n , b n durch Ab-/Aufrunden entstehen).
Satz 4.22.
Folgende Axiome der reellen Zahlen sind äquivalent:
(i) Das Vollständigkeitsaxiom.
(ii) Das Intervallschachtelungsprinzip.
(iii) Das Infimumsaxiom (OV): Jede nicht–leere, nach unten beschränkte Teilmenge
von R besitzt ein Infimum.
(iv) Das Supremumsaxiom: Jede nicht–leere, nach oben beschränkte Teilmenge
von R besitzt ein Supremum, d.h. eine kleinste obere Schranke.
Beweis. (i) =⇒ (ii): Sei I n = [a n , b n ] und lim(b n − a n ) = 0. Betrachte die Folge
(a n ). Wenn b k − a k < ɛ, so gilt auch |a n − a m | < ɛ, falls m, n ≥ k, denn a n und
a m sind in I k . Also ist (a n ) eine Cauchyfolge. Nach (i) konvergiert (a n ) gegen ein
x. Es gilt aber a n ≤ x ≤ b n für alle n nach Satz 4.16, da a n ≤ a k ≤ b n für k ≥ n.
Damit gilt x ∈ ⋂ n I n. Wegen lim(b n − a n ) = 0 ist x das einzige Element in dieser
Menge.
(ii) =⇒ (iii): Sei A ⊆ R nicht-leer und nach unten beschränkt. Dann gibt es ein
a 0 ∈ A und eine untere Schranke C 0 von A. Wir konstruieren induktiv eine Folge
von Paaren (a k , C k ), so dass gilt:
• a n ∈ A und C n ist untere Schranke von A.
• a n − C n ≤ 2 −n (a 0 − C 0 ).
Dies definiert dann eine Intervallschachtelung I n = [C n , a n ] mit lim(b n −a n ) = 0.
Seien I 0 , . . . , I n bereits konstruiert. Setze M := Cn+an .
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1. Fall: [C n , M] ∩ A = ∅. Dann ist M auch eine untere Schranke und wir setzen
C n+1 := M und a n+1 = a n .
2. Fall: [C n , M] ∩ A ≠ ∅. Dann existiert ein a n+1 ∈ A mit a n+1 ≤ M. Setze dann
C n+1 = C n und a n+1 wie eben gewählt.
In beiden Fällen gilt die Behauptung. Nach Voraussetzung gilt das Intervallschachtelungsprinzip
(ii) und es gibt ein x ∈ ⋂ n I n. Dieses x ist das Infimum von A: Ist
a ∈ A, so gilt C n ≤ a für jedes n und somit auch x ≤ a, also ist x eine untere
Schranke. Da alle a n ∈ A sind und für jedes ɛ > 0 ein n 0 existiert mit |x−a n | < ɛ
für n ≥ n 0 , so ist x auch die größte untere Schranke.
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