Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Höhere Ableitungen
Ist f differenzierbar und f ′ ebenfalls, so kann man die zweite Ableitung f ′′ bilden
usw. Die höheren Ableitungen werden mit
f ′′ , f ′′′ = f (3) , f (4) , . . . , f (n) , . . .
bezeichnet, falls sie existieren, oder auch mit
d 2 f
dx , d3 f
2 dx , . . . , dn f
3 dx , . . . n
Beispiele 7.13.
sin (2n) (x) = (−1) n sin(x). Sind zwei Funktionen f, g n–Mal differenzierbar, so
gilt
n∑
( n
(f · g) (n) = f
k)
(n−k) g (k) .
k=0
Beweis mit Induktion über n und der Produktregel.
Lokale Extrema
Definition 7.14.
Sei f :]a, b[−→ R eine Funktion. x ∈]a, b[ heißt lokales Maximum bzw. Minimum
(Sammelbegriff lokales Extremum), falls ein ɛ > 0 existiert, so dass
f(t) ≤ f(x), ∀t ∈]x − ɛ, x + ɛ[,
bzw. f(t) ≥ f(x), ∀t ∈]x − ɛ, x + ɛ[.
Satz 7.15.
Sei f :]a, b[−→ R differenzierbar in x ∈]a, b[ und habe ein lokales Extremum in
x. Dann gilt f ′ (x) = 0.
Beweis. Angenommen f hat lokales Maximum (Beweis für Minimum genauso).
Sei ]x − ɛ, x + ɛ[⊆]a, b[. Da x lokales Maximum ist, gilt
f(x + h) − f(x)
lim
h↘0 h
f(x + h) − f(x)
lim
h↗0 h
≤ 0,
≥ 0,
insgesamt also, da f ′ (x) existiert, muss f ′ (x) = 0 gelten.
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