Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

(bzw. fallend), so gilt f ′ (x) ≥ 0 (bzw. f ′ (x) ≤ 0) für alle x ∈ [a, b].
(e) Sei f :]a, b[−→ R 2–Mal differenzierbar und in x ∈]a, b[ sei f ′ (x) = 0 und
f ′′ (x) > 0 (bzw. f ′′ (x) < 0). Dann hat f in x ein lokales Minimum (bzw. Maximum).
Beweis. (a) Angenommen es gibt x < y mit f(y) − f(x) > C(y − x) (oder <
c(y − x)). Nach dem Mittelwertsatz gibt es dann ein x 0 ∈]x, y[ mit f(y) − f(x) =
f ′ (x 0 )(y − x) und f ′ (x 0 ) > C (oder f ′ (x 0 ) < c). Dies ist ein Widerspruch zu
c ≤ f ′ (x 0 ) ≤ C.
(b) Folgt aus (a) mit C = c = 0.
(c) Angenommen f ′ ≥ 0 und f ist nicht monoton wachsend (Beweis für andere
genauso), d.h. es gibt x < y in [a, b] mit f(x) > f(y). Nach dem Mittelwertsatz
gibt es dann ein x 0 ∈]x, y[ mit
f ′ (x 0 ) =
f(y) − f(x)
y − x
< 0.
Widerspruch!
(d) Folgt aus der Definition von f ′ (x).
(e) Sei f ′ (x) = 0 und f ′′ (x) > 0 (Beweis für < 0 genauso). Dann existiert ein
δ > 0, so dass
f ′ (x ′ ) − f ′ (x)
> 0
x ′ − x
für alle x ′ mit |x − x ′ | < δ, da f ′′ (x) > 0. Da f ′ (x) = 0 ist, gilt also f ′ (x ′ ) >
x ′ − x ≥ 0 für x ≤ x ′ < x + δ und f ′ (x ′ ) < x ′ − x ≤ 0 für x − δ < x ′ ≤ x. Nach
(c) ist f streng monoton wachsend bzw. fallend rechts bzw. links von x. Also ist
x ein lokales Minimum.
Definition 7.20.
Eine Funktion f :]a, b[−→ R heißt konvex (bzw. konkav), falls f die Ungleichung
f(λx 1 + (1 − λ)x 2 ) ≤ λf(x 1 ) + (1 − λ)f(x 2 )
(bzw. ≥) für alle x 1 , x 2 ∈]a, b[ und 0 ≤ λ ≤ 1 erfüllt ist.
Proposition 7.21. Ist f auf ]a, b[ 2–Mal differenzierbar, so ist f konvex, falls
f ′′ (x) ≥ 0. Die Umkehrung gilt auch (ohne Beweis).
Beweis. f ′ ist monoton wachsend auf ]a, b[, da f ′′ ≥ 0. Sei x 1 < x 2 , x := λx 1 +
(1 − λ)x 2 und 0 < λ < 1. Dann gilt x 1 < x < x 2 . Nach dem Mittelwertsatz gibt
es ξ 1 ∈]x 1 , x[ und ξ 2 ∈]x, x 2 [ mit
f(x) − f(x 1 )
x − x 1
= f ′ (ξ 1 ) ≤ f ′ (ξ 2 ) = f(x 2) − f(x)
.
x 2 − x
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