Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Aufgabe 115. Die Funktion g : R → R sei definiert durch g(0) = 0 und g(x) =
x 2 · cos ( 1
x)
für x ≠ 0. Berechnen Sie g ′ (x) für alle x ∈ R.
Aufgabe 116. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen in einem
maximalen Definitionsbereich:
3√
2x, x 3/2 , exp(2x − 1), exp(x/2), log(1 − x),
log(1 + 2x), sin(3x), arcsin(3x), cos(x/3), arccos(x/3), tan(x/2), arctan(x/2).
Aufgabe 117. Sei f : [a, b] → R eine Funktion mit der Eigenschaft, dass
|f(x) − f(x ′ )| ≤ C · |x − x ′ | 2
für alle x, x ′ ∈ [a, b] und eine Konstante C > 0. Zeigen Sie, dass f konstant ist.
Aufgabe 118. Betrachten Sie die Funktion
{
f(x) = (1 + x) log(1 + x), x > −1
f : [−1, ∞[−→ R, x ↦→
0, x = −1.
Zeigen Sie zuerst, dass f stetig auf [−1, ∞[ ist. Bestimmen Sie alle Nullstellen
und Achsenschnittpunkte sowie alle lokalen und globalen Extrema von f(x).
Überprüfen Sie dabei jeweils, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt.
In welchen Intervallen ist f konvex und konkav Zeichnen Sie den Graphen
der Funktion.
Aufgabe 119. Sei f(x) die Funktion, die definiert ist durch f(x) = e −1/x für
x > 0 und f(x) = 0 für x ≤ 0. Zeigen Sie: Für alle n ≥ 0 gibt es ein Polynom
P n (x) mit f (n) (x) = P n (1/x)e −1/x für x > 0. Folgern Sie f (n) (0) = 0 für alle
n ≥ 0.
Aufgabe 120. Berechnen Sie mit dem Newtonverfahren 5√ 3 bis auf 10 Dezimalstellen
genau. Verwenden Sie dabei die Fehlerabschätzung aus der Vorlesung.
Aufgabe 121. (a) Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x n e −x (n > 0) auf lokale
und globale Extrema.
(b) Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x 3 + ax 2 + bx auf lokale Extrema in
Abhängigkeit von a, b ∈ R.
Aufgabe 122. Berechnen Sie die Limiten
lim
x→ π 2
x − π 2
cot(x) , lim
x→∞
log(x)
, lim
x 5
x→0
x log(x), lim
x→
π
2
(
tan(x) + 1 )
x − π .
2
Aufgabe 123. Können a, b ∈ R so gewählt werden, dass die Funktion
{
ax + b falls x < 0
f(x) :=
(x + 1) cos x falls x ≥ 0
auf R differenzierbar ist Wenn ja, ist die Wahl eindeutig
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