Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Bemerkung 9.19. Ist 1 ≤ p ≤ n + 1, so gibt es auch das Schlöhmilchsche Restglied:
R n+1 (x) = f (n+1) (ξ)
(x − ξ) n+1−p (x − a) p .
p · n!
Das Lagrangesche Restglied ist der Fall p = n + 1.
Beispiele 9.20. • f(x) = exp(x). Dann stimmt T f,0 mit f(x) auf ganz R
überein, denn das Restglied ist von der Form exp(ξ)
(n+1)! xn+1 .
• Genauso für f(x) = sin(x). Hier berechnet man schnell
T f,0 =
∞∑
k=0
(−1) k
(2k + 1)! x2k+1 ,
und das Restglied ist beschränkt, denn |f (n) (ξ)| ≤ 1. Für f(x) = cos(x)
bekommt man analog:
T f,0 =
∞∑
k=0
(−1) k
(2k)! x2k .
• f(x) = log(1 + x). Dann gilt f (n) (x) = (−1) n−1 (n−1)!
(1+x) n . Also folgt
T f,0 =
∞∑
(−1)
n=1
n−1 xn
Dies konvergiert offenbar nach dem Quotientenkriterium, wenn |x| < 1. Es
gilt sogar T f,0 = log(1 + x), wenn −1 < x ≤ 1. Für |x| < 1 folgt dies aus
dem Beweis von Satz 9.6, Satz 9.11 und der folgenden Rechnung:
log(1 + x) =
∫ x
0
=
∫
dt x
1 + t =
∞∑
n=0
0
(−1) n xn+1
n .
(
∑ ∞
)
(−1) n t n dt =
n=0
n + 1 = ∞
∑
n=1
n−1 xn
(−1)
∞∑
∫ x
(−1) n t n dt
• f(x) = arctan(x). Dann folgt in gleicher Weise mit der geometrischen
Reihe:
∫ x
dt
arctan(x) =
1 + t = ∑ ∞
(−1) n x2n+1
2 2n + 1
für |x| < 1.
0
98
n=0
n=0
n .
0