Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Aufgabe 73. Zeigen Sie, dass das Hadamardprodukt ∑ c n = ∑ (a n · b n ) zweier
absolut konvergenter Reihen ∑ a n und ∑ b n wieder absolut konvergent ist.
Aufgabe 74. Beweisen Sie
sin((2n + 1)x) = 2 sin(x)
(
1
n∑
2 +
k=1
Aufgabe 75. Berechnen Sie das unendliche Produkt
∞∏
j=2
(1 − 1 j 2 )
.
cos(2kx)
Aufgabe 76. Sei m ≥ 1 eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass die Reihe
∞∑
n=1
1
n(n + m)
konvergiert und berechnen Sie den Wert (in Abhängigkeit von m).
Aufgabe 77. Beweisen Sie, dass
∞∑
n=1
konvergiert und berechnen Sie den Wert.
1
n(n + 1)(n + 3)
Aufgabe 78. Beweisen Sie: Die Reihe ∑ n a n ist genau dann absolut konvergent,
wenn es nichtnegative reelle Zahlen b n , c n gibt, so dass a n = b n − c n und die
Reihen ∑ n b n und ∑ n c n konvergieren.
Aufgabe 79. Sei 1 ≤ k ∈ N. Entscheiden Sie, ob folgende Reihen konvergieren
und geben Sie an, welches Konvergenzkriterium Sie verwenden.
a)
d)
g)
∞∑
n=1
∞∑
n=1
∞∑
n=0
1
kn + 1 ,
2 + (−1) n
, e)
2 n+2
( )
3 −n
2 + 5 −n
2
∞ b) ∑ 1
1 + 2 + . . . + n , c) ∑ ∞
3
2n 2 + 5
n=1
n=1
∞∑
(
(−1) n√ n + 1 ) ∞∑
, f)
n
n=1
)
.
n=2
1
log n
55