Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Landau Symbole
Sind f, g : D −→ R stetige Funktionen und a ∈ D ⊂ R oder a = ±∞, so
schreibt man
f(x) = o(g(x)),
für x → a, falls
sowie
für x → a, falls
f(x)
lim
x→a g(x) = 0.
f(x) = O(g(x)),
lim sup
x→a
f(x)
g(x) < ∞.
Alle diese Limiten sollen existieren, wenn wir diese Notation benutzen.
Beispiele 6.25. exp(−x) = O(x −n ) für x → ∞ und alle n ∈ N, denn exp(x) ≥
x n+1
, also (n+1)! exp(−x)·xn ≤ x n ·x −n−1 (n+1)! = (n+1)! und dies konvergiert gegen
x
Null, falls x → ∞. Ebenso gilt x 2 − x + 2 = O(x 2 ), da lim x2 −x+2
= 1.
x 2
Aufgaben
Aufgabe 94. Für welche Zahlen α, β, γ ∈ R ist die Funktion
⎧
⎨ 1 + x 2 falls −1 ≤ x ≤ 1
g : R → R, x → g(x) = αx − x 3 falls 1 < x ≤ 2
⎩
βx 2 + γ sonst,
stetig
Aufgabe 95. Zeigen Sie: Ein Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine
Nullstelle.
Aufgabe 96. (a) Es seien F , G : [a, b] → R stetige Funktionen mit F (a) < G(a)
und F (b) > G(b). Man zeige, dass ein t ∈ [a, b] existiert mit F (t) = G(t).
(b) Es sei H : [a, b] → R eine stetige Funktion mit der Eigenschaft H([a, b]) ⊆
[a, b]. Beweisen Sie, dass es ein y ∈ [a, b] gibt mit H(y) = y.
Aufgabe 97. (a) Sei c > 0 gegeben und sei f : [0, 2c] → R stetig, und es gelte
f(0) = f(2c). Zeigen Sie, dass es ein u ∈ [0, c] gibt mit f(u) = f(u + c).
(b) Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) = x 4 − 5x 3 + 2x 2 + 1 auf dem Intervall
[0, 1] mindestens eine Nullstelle besitzt.
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