Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Beweis. Quotientenkriterium: | a n+1
a n
| = |x| . Diese Folge ist eine Nullfolge für
n+1
alle x, daher folgt die Behauptung aus Satz 5.16.
Definition 5.22. Die Eulersche Zahl e ist e 1 = exp(1) = 2.718281 . . ..
Satz 5.23 (Funktionalgleichung für exp).
Für alle x, y ∈ R gilt:
sowie exp(0) = 1.
exp(x + y) = exp(x) · exp(y)
Beweis. Sind ∑ a n und ∑ b n zwei absolut konvergente Reihen, so kann man das
Cauchyprodukt bilden. Dies ist eine neue Reihe ∑ c n mit
n∑
c n = a i · b n−i .
i=0
Dann ist auch ∑ c n absolut konvergent und es gilt
∑
an · ∑ b n = ∑ c n
(Beweis in den Übungen). Hier gilt a n = xn und b
n! n = yn
und daher
n!
n∑
n∑
( n
c n =
)x i y n−i =
i
i=0
x i
i!
Hieraus folgt sofort der Satz.
y n−i
(n − i)! = 1 n!
i=0
Reelle Zahlen als unendliche Reihen
(x + y)n
.
n!
Die Dezimaldarstellung reeller Zahlen ist eine Reihenentwicklung: Jedes x ∈ R
lässt sich darstellen als
∞∑
x = ±a −l · · · a −1 a 0 .a 1 a 2 . . . = ± a k · 10 −k ,
k=−l
mit Ziffern 0 ≤ a k ≤ 9. Allgemeiner ist ein b-adischer Bruch eine unendliche
Reihe ∑ a k · b k mit 0 ≤ a k ≤ b − 1.
Satz 5.24.
Jeder b-adische Bruch mit b ≥ 2 konvergiert gegen eine reelle Zahl.
Beweis. Auch hier ist die geometrische Reihe eine Majorante, denn es gilt (oBdA
l = 0):
∞∑
∞∑
a k b −k ≤ (b − 1)b −k = b − 1 = b < ∞.
1 − b−1 k=0
k=0
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