Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Rechenregeln:
• a x · a y = a x+y .
• (a x ) y = a xy .
• (a −1 ) x = a −x .
• log a (xy) = log a (x) + log a (y).
• log a (a) = 1.
Bemerkung 6.23. Es ist leicht nachzurechnen, dass log a (x) die Umkehrfunktion
von a x ist. Definiert man e := exp(1), d.h. log(e) = 1, so gilt tatsächlich e x =
exp(x), wie früher als Notation benutzt, denn e x = exp(x log(e)) = exp(x). Ist
x ∈ N, so bekommen wir auch wieder die alte Definition der Potenz zurück:
a n = exp(n log(a)) = exp(log(a)) n = a n .
Satz 6.24 (Umkehrung der trigonometrischen Funktionen).
(a) Die stetige Abildung cos : [0, π] −→ [−1, 1] ist streng monoton fallend und
bijektiv. Die Umkehrfunktion ist
arccos : [−1, 1] −→ [0, π].
(b) Die stetige Abildung sin : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1] ist streng monoton fallend
und bijektiv. Die Umkehrfunktion ist
arcsin : [−1, 1] −→ [−π/2, π/2].
(c) Die stetige Abbildung tan :] − π/2, π/2[−→ R ist streng monoton fallend und
bijektiv. Die Umkehrfunktion ist
arctan : R −→] − π/2, π/2[.
Beweis. Einen exakten Beweis für die Monotonie von cos(x) in diesem Intervall,
der auf einer Potenzreihenentwicklung basiert, findet man in [Forster, Seite 136].
Einen geometrischen Beweis führt man am einfachsten mit Polarkoordinaten der
komplexen Zahlen. Daraus folgt sofort (a) und analog (b). (c) schließlich folgt aus
(a) und (b), da tan(x) = sin(x)/ cos(x).
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