Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

• Ist M = R n mit Abstandsfunktion
d(x, y) = ||x − y|| := √ (x 1 − y 1 ) 2 + . . . + (x n − y n ) 2 .
Dann ist f : R n → R mit f(x) := d(x, 0) stetig nach Definition. Andere
Beispiele sind Drehungen
( ( )
cos(t) sin(t) x
ϕ : R 2 → R 2 , (x, y) ↦→
.
− sin(t) cos(t))
y
Hier berechnet man schnell, dass ||ϕ(x, y)|| 2 = ||(x, y)|| 2 (Längenerhaltung).
Satz 6.3.
Sind f, g : D → R stetige Funktionen, so ist auch f ± g, uf ± vg, fg und f/g
stetig (u, v ∈ R) auf D bis auf eventuell die Punkte a ∈ D in denen g(a) = 0
wird. Ist f : D → C gegeben, so ist f stetig, falls Real- und Imaginärteil von f
stetig sind.
Beweis. Dieser Satz folgt aus dem entsprechenden Satz 4.13/4.14 für Folgen und
dem folgenden Satz.
Satz 6.4.
Eine Funktion f : D → R (oder f : D → C) ist stetig in a ∈ D genau dann,
wenn für jede Folge (a n ) in D mit lim a n = a gilt, dass lim f(a n ) = f(a).
Notation 6.5. lim x→a f(x) = f(a). Ist a ein Randpunkt von D und man betrachtet
nur Folgen (a n ) mit a n ≥ a bzw. a n ≤ a, so schreibt man auch:
lim
x↘a
f(x) = lim f(x) = f(a), bzw. lim
x↓a x↗a
f(x) = lim f(x) = f(a).
x↑a
Beweis. (1) Sei (a n ) eine Folge mit lim a n = a und ein ɛ > 0 gegeben. Wähle
δ > 0, so dass |f(a n ) − f(a)| < ɛ für alle |a n − a| < δ. Wähle auch ein n 0 mit
|a n − a| < δ für alle n ≥ n 0 . Es folgt dann |f(a n ) − f(a)| < ɛ für alle n ≥ n 0 ,
also lim f(a n ) = f(a).
(2) Umgekehrt sei lim f(a n ) = f(a) für alle konvergenten Folgen (a n ) mit lim a n =
a. Angenommen f ist nicht stetig in a. Dann gibt es ein ɛ > 0, so dass kein δ > 0
existiert mit |f(x) − f(a)| < ɛ, falls |x − a| < δ. Wähle zu δ = 1 n ein x n ∈ D mit
|x n −a| < 1 n und |f(x)−f(a)| ≥ ɛ. Dann gilt lim x n = a, aber lim f(x n ) ≠ f(a).
Widerspruch!
Beispiel 6.6. (Exponentialfunktion) Sei a ∈ R und (x n ) eine Folge mit lim x n =
a. Dann ist
lim
x→a
exp(x) = lim(exp(a) exp(x − a)) = exp(a) lim exp(x − a),
x→a x→a
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