Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Aufgaben
Aufgabe 1. Schreiben Sie die folgenden Ausdrücke mit den Boolschen Rechenzeichen,
die in der Vorlesung eingeführt wurden, und vereinfachen Sie !
a) (A oder B) oder (C oder nicht A)
b) (A oder B) und (nicht C und B).
Aufgabe 2. Ist die folgende Aussage wahr, falls Silke, Sandra und Stefanie unterschiedlich
groß sind
Wenn Stefanie nicht größer als Sandra und Silke ist, dann ist entweder Silke kleiner
als Sandra und Sandra größer als Stefanie und Stefanie kleiner als Silke, oder
Silke größer als Stefanie und Stefanie kleiner als Sandra und Sandra kleiner als
Silke.
Aufgabe 3. Sei M := {1, 2} und N := {2, 3, 4}.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig
a) M ⊆ N b) N ⊆ M c) M = N d) M ≠ N e) {2, 4} ⊆ N
f) 3 ∈ M ∩ N g) 4 ∈ N ∪ M h) {2, {3, 4}} ⊆ N.
Aufgabe 4. Beweisen Sie mit einer Wahrheitstafel ¬ A ∧ ¬ B ⇐⇒ ¬ (A ∨ B)
sowie ¬ A ∨ ¬ B ⇐⇒ ¬ (A ∧ B).
Aufgabe 5. Sei A NOR B:=¬A ∧ ¬B.
(a) Beweisen Sie mit Wahrheitstafeln ¬A ⇐⇒ A NOR A.
(b) Beweisen Sie mit Wahrheitstafeln A ∧ B ⇐⇒ (A NOR A) NOR (B NOR
B).
(c) Drücken Sie auch A ∨ B nur mit Hilfe von NOR aus (mit Beweis).
(d) Zeigen Sie damit, dass die Verknüpfungen ¬, ∨ und ∧ alleine durch NOR
ausgedrückt werden können.
Aufgabe 6. Seien A, B, C ⊆ X. Beweisen Sie:
(a) (X \ A) ∩ (X \ B) = X \ (A ∪ B).
(b) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C).
(c) A ∩ B ⊆ A ∩ (B ∪ C).
(d) C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B).
Aufgabe 7. Berechnen Sie P (P (P (∅))) (iterierte Potenzmenge).
Aufgabe 8. Seien f : A → B und g : B → C bijektiv. Zeigen Sie, dass g ◦ f
bijektiv ist und (g ◦ f) −1 = f −1 ◦ g −1 gilt.
Aufgabe 9. Ist M eine Menge, dann ist {0, 1} M die Menge aller Abbildungen f :
M → {0, 1}. Konstruieren Sie eine bijektive Abbildung h : {0, 1} M → P (M).
11