Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Satz 8.8. Im Folgenden seien f, g : [a, b] −→ R beschränkt.
(a) Jede Treppenfunktion ist Riemann integrierbar.
(b) f ist Riemann integrierbar genau dann, wenn für alle ɛ > 0 Treppenfunktionen
ϕ ≤ f ≤ ϕ ′ existieren mit
∫ b
a
(ϕ ′ (x) − ϕ(x))dx ≤ ɛ.
(c) ∫ b
f(x)dx ist linear und monoton im Argument f.
a
(d) Jede stetige Funktion ist Riemann integrierbar.
(e) Jede monotone Funktion ist Riemann integrierbar.
(f) Ist f Riemann integrierbar, so auch |f| und es gilt:
∣
∫ b
a
∫ b
f(x)dx
∣ ≤ |f(x)|dx.
(g) Sind f, g Riemann integrierbar, so sind auch fg und |f| p Riemann integrierbar
für p ≥ 1.
Bemerkung 8.9. Statt stetig kann man in (d) auch fordern, das f höchstens endlich
viele Unstetigkeitsstellen besitzt.
Beweis. (a) Inf und sup werden für Treppenfunktionen f bei f selbst angenommen
und sind damit gleich.
(b) ɛ/2–Argument und Definition von ∫ ∗ , ∫ . ∗
(c) Folgt aus Satz 8.4 und Limesargument.
(d) Sei f : [a, b] −→ R stetig und ɛ > 0. f ist gleichmäßig stetig nach Satz 6.17.
Also existiert ein δ > 0, so dass |f(x)−f(x ′ )| < ɛ/b−a, falls |x−x ′ | < δ. Wähle
n mit (b − a)/n ≤ δ und betrachte die Unterteilung x k := a + k (b − a). Definiere
n
ϕ(x) als inf{f(x) | x k−1 ≤ x ≤ x k } auf [x k−1 , x k [ und ϕ(b) = f(b). Ebenso
definiere ϕ ′ (x) als sup{f(x) | x k−1 ≤ x ≤ x k } auf [x k−1 , x k [ und ϕ ′ (b) = f(b).
Dann gilt 0 ≤ ϕ ′ (x) − ϕ(x) ≤ ɛ/b − a, also ∫ b
a (ϕ′ (x) − ϕ(x))dx ≤ ɛ.
(e) Sei f : [a, b] −→ R monoton wachsend (Beweis für fallend genauso). Setze
wieder x k := a + k n (b − a). Diesmal definiere ϕ(x) = f(x k−1) und ϕ ′ (x) = f(x k )
auf [x k−1 , x k [ sowie ϕ(b) = ϕ ′ (b) = f(b). Dann gilt ϕ(x) ≤ f ≤ ϕ ′ (x) und
a
∫ b
a
(ϕ ′ (x) − ϕ(x))dx = b − a
n
n∑
k=1
(f(x k ) − f(x k−1 ) = (f(b) − f(a)) b − a
n .
Für n groß wird dies beliebig klein. Also folgt (e) aus (b).
(f) Für eine beliebige Funktion f ist f + = max(f, 0) und f − = max(−f, 0). Dann
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