Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Aufgabe 80. Sind die folgenden Reihen konvergent oder divergent Begründen
Sie die Antwort und berechnen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert.
∞∑
n=0
1
n + 1 ,
∞
∑
n=2
1
5 , ∑ ∞ k−1
n=0
(−5) n+1
,
n!
∞∑
n=0
(
1 + 1 n) −n
,
∞∑
n=2
1
n 2 − 2n + 1 .
Aufgabe 81. Sind die folgenden endlichen und unendlichen Reihen konvergent
oder divergent Begründen Sie die Antwort und berechnen Sie im Fall der Konvergenz
den Grenzwert.
∑999
n=1
∞∑
n=0
1
n(n + 1) ,
[ ] 11
,
2n + 1
∞
∑
n=0
(−1) n+1 2n
7 , ∑ ∞
(−1/2) 2n
,
n−1 n!
∞∑
n=0
n=0
∞
(−1) n π2n
(2n)! , ∑ (−1) n
2 n+1 (n − 1) .
n=2
Aufgabe 82. Rechnen Sie alle Körperaxiome für C nach.
Aufgabe 83. Zeigen Sie, dass man komplexe Zahlen a + ib auch durch Matrizen
( ) a −b
b
a
darstellen kann und die Multiplikation dann dem Matrixprodukt entspricht.
Aufgabe 84. Zeigen Sie: Für zwei Vektoren x = (x 1 , . . . , x n ) und y = (y 1 , . . . , y n )
in C n gilt
√ √√√ n∑
∑
| x i ȳ i |≤ √ n n∑
|x i | 2 |y i | 2 .
i=1
i=1
Aufgabe 85. Zeichnen Sie in C für n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 alle Zahlen z, die die Gleichung
z n = 1 erfüllen. Hinweis: Benutzen Sie die Multiplikation in Polarkoordinaten.
Aufgabe 86. Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen in der Form x + iy mit
x, y ∈ R:
( ) 2
1 4 − i
1 + i , 1 + 2i
,
2 + i (2 + 3i) . 2
Berechnen Sie das multiplikative Inverse von 1 − i und den Betrag von 3 + 5i.
i=1
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