Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Jedoch gilt dies auf Intervallen der Form [a, b]:
Satz 6.17.
Ist f : [a, b] → R stetig, so ist f gleichmäßig stetig.
Beweis. Angenommen f ist nicht gleichmäßig stetig. Dann gibt es ein ɛ > 0 und
für alle n ∈ N Punkte x n , x ′ n ∈ D mit |x n − x ′ n| < 1 n und |f(x n) − f(x ′ n)| ≥ ɛ.
Nach Satz 4.25 (Bolzano-Weierstraß) gibt es einen Häufungspunkt c ∈ [a, b]. Aus
der Stetigkeit von f folgt lim f(x nk ) = c = lim f(x ′ n k
) für die entsprechenden
Teilfolgen. Widerspruch zu |f(x n ) − f(x ′ n)| ≥ ɛ!
Bemerkung 6.18. Es gibt noch eine wichtige Variante, die Lipschitz-Stetigkeit:
f : D → R heißt Lipschitz stetig, falls ein L ≥ 0 existiert, mit
|f(x) − f(x ′ )| ≤ L · |x − x ′ |
für alle x, x ′ ∈ D. Jede Lipschitz stetige Funktion mit L > 0 ist gleichmäßig
stetig, wähle dazu δ = ɛ/L.
Weitere spezielle stetige Funktionen
Eine Möglichkeit, weitere Funktionen zu konstruieren, besteht in dem Bilden von
Umkehrfunktionen. Zum Beispiel ist exp : R −→ R >0 bijektiv und die Umkehrfunktion
heißt natürlicher Logarithmus
exp −1 = log : R >0 −→ R
und wird manchmal auch mit ln(x) (Logarithmus Naturalis) bezeichnet. Die Umkehrfunktion
der Potenzfunktion x k : R + −→ R + heißt Wurzelfunktion
k√ x : R+ −→ R + .
Satz 6.19.
Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I −→ R stetig und streng monoton wachsend
(oder fallend), d.h.
f(x) > f(y) ∀ x > y
oder
f(x) < f(y) ∀ x > y.
Dann ist f : I −→ f(I) bijektiv und die Umkehrabildung f −1 : f(I) −→ I ist
ebenfalls stetig und streng monoton wachsend (oder fallend).
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