Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

U n :=
n∑
f(x k−1 )(x k − x k−1 )
k=1
der Funktion f(x) = x 2 : [0, 1] → R für die Wahl der Stützstellen x k = k n .
Schliessen Sie daraus, dass f auf [0, 1] Riemann integrierbar ist und berechnen
Sie den Wert des Riemann Integrals ohne Verwendung von Stammfunktionen.
Aufgabe 143. Prüfen Sie, ob die folgenden Integrale existieren und berechnen Sie
jeweils den Wert:
∫ 2π/3
0
x 2 sin(3x)dx,
∫ 2
1
log(x)
dx,
x
∫ π
0
cos(2x) sin(x)dx,
∫ 1
0
log(x + 1)dx.
Aufgabe 144. Seit f(t) ∈ R[t] ein Polynom vom Grad m und I(t) = ∫ t
0 exp(t −
u)f(u)du. Zeigen Sie:
I(t) = exp(t)
m∑
f (j) (0) −
j=0
m∑
f (j) (t).
Aufgabe 145. Berechnen Sie ∫ a
cos(x)dx für a > 0 mittels Riemannscher Summen.
0
j=0
Aufgabe 146. Beweisen Sie log(2) = ∑ ∞
n=1 (−1)n+1 1 n
Summen zu den Stützstellen 2 k n .
Aufgabe 147. Berechnen Sie das unbestimmte Integral
∫
dx
ax 2 + bx + c
für a, b, c ∈ R.
Aufgabe 148. Berechnen Sie das unbestimmte Integral
∫
dx
1 + x 4
durch Partialbruchzerlegung
Aufgabe 149. Berechnen Sie
1
1 + x = ax + b
4 1 + √ 2x + x + cx + d
2 1 − √ 2x + x . 2
∞∑
n=1
sin(nx)
n 3 ,
91
∞∑
n=1
cos(nx)
n 4 .
mittels Riemannscher