Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

allgemeiner, falls die Reihe gleichmäßig konvergiert, so sind jedenfalls die Koeffizienten
eindeutig, wegen des folgenden Skalarproduktes:
Hier gilt nämlich
〈f, g〉 := 1 ∫ 2π
f(x)g(x)dx.
2π 0
〈exp(−imx), exp(−inx)〉 = δ m,n und c k = 〈exp(ikx), f〉.
Die Menge e n = exp(inx) (n ∈ Z) bildet also ein Orthonormalsystem im Raum
aller Funktionen, die auf [0, 2π] integrierbar sind und 〈f, f〉 < ∞ erfüllen. Fourierreihen
konvergieren in diesem Funktionenraum aber nicht mehr punktweise
gegen f, sondern nur im quadratischen Mittel: ||f n −f|| 2 := 〈f n −f, f n −f〉 → 0
für n → ∞. Betrachtet man z.B. eine unstetige ungerade Treppenfunktionen, so
konvergiert die Fourierreihe S f gegen einen Mittelwert S f (0) = 0, auch wenn
f(0) = 1 war. Es liegt somit fast nie punktweise Konvergenz vor.
Satz 9.26.
Ist f : R → C periodisch und auf [0, 2π] integrierbar, so gilt: S f konvergiert
gegen f im quadratischen Mittel und es gilt
∑
|c k | 2 = ||f|| 2 .
k∈Z
Ist f sogar stetig und stückweise stetig differenzierbar, so konvergiert S f sogar
gleichmäßig gegen f.
Beispiele 9.27.
• f(x) sei die periodische Funktion mit f(x) = |x| auf [−π, π] (Sägezahn).
Dann gilt
S f (x) = π 2 − 4 (
cos(x) + cos(3x) + cos(5x) )
+ . . .
π
3 2 5 2
Aus S f (0) = f(0) = 0 folgt π2 = 1 + 1 + 1 + . . ..
8 3 2 5 2
• Sei f(x) die periodische Funktion mit f(x) = ( )
x−π 2
2 −
π 2
. Dann S 12 f(x) =
f(0) = ∑ ∞ cos(nx)
n=1
. Es folgt S
n 2
f (0) = ∑ ∞ 1
n=1
= π2 .
n 2 6
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