Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Aufgaben
Aufgabe 65. Summieren Sie ∑ 100 1
k=1
und ∑ 100
k k=1
1
konvergent ist und be-
n(n+7)
in zwei Brüche.
n(n+7)
konvergent ist und bestimmen Sie den
Aufgabe 66. (a) Zeigen Sie, dass die Reihe ∑ ∞
n=1
1
stimmen Sie den Grenzwert. Hinweis: Zerlegen Sie
(b) Zeigen Sie, dass die Reihe ∑ ∞
n=1
Grenzwert.
1
4n 2 −1
1
k 2
mit einem Rechner.
Aufgabe 67. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
∞∑
n=1
2n 3
2 , ∑ ∞
(n!) 3
n (3n)! ,
n=1
∞
∑
n=0
3
n + 2 ,
∞
∑
n=1
1
n 3 + 10 −3 n .
Aufgabe 68. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und bestimmen
Sie den Grenzwert:
∞∑
∞∑
(−1) n+1 2 −n (−3) n+1 ∞∑
,
, (−1) n+1 2n
n!
7 , ∑ ∞
1
n+2 n 2 − 2n + 1 .
n=1
n=1
n=1
Aufgabe 69. Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz
∞∑
2n
1.
3
und
2 n
2.
n=1
∞∑
n=1
(n!) 3
(3n)! .
Aufgabe 70. Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz und bestimmen Sie
gegebenenfalls den Grenzwert:
1. 1 − 1 2 + 1 4 − 1 8 + . . . ± 1
2 n und
n=2
2.
∞∑
k=1
1
(Verwenden Sie Partialbruchzerlegung!).
4k 2 −1
Aufgabe 71. (a) Welche rationale Zahl hat die 5–adische Entwicklung 0.234
(b) Bestimmen Sie den 7–adischen Bruch, der den Zahlen 1 2 , 1 3 und 1 6 entspricht.
Aufgabe 72. Zeigen Sie, dass das Cauchyprodukt ∑ c n zweier absolut konvergenter
Reihen ∑ a n und ∑ b n wieder absolut konvergent ist. Hinweis: Zeigen Sie
für die Partialsummen A N = ∑ N
n=0 a n, B N = ∑ N
n=0 b n und C N = ∑ N
n=0 c n sowie
A ∗ N = ∑ N
n=0 |a n| und BN ∗ = ∑ N
n=0 |b n| die Ungleichung |A N B N − C N | ≤
A ∗ N B∗ N − A∗ ⌊N/2⌋ B∗ ⌊N/2⌋ . 54