Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

• ∫ 1 dx
0 x α
existiert für α < 1, denn
lim
h→0 h1−α = lim exp((1 − α) log(h)) = 0.
h→0
•
∫ ∞
−∞
dx
1 + x = − lim arctan(R) + lim arctan(S) = π/2 + π/2 = π.
2 R→−∞ S→∞
Dies kann manchmal zur Konvergenzuntersuchung von Reihen benutzt werden.
Ist f eine monoton fallende Funktion [1, ∞[−→ R + , so gilt nämlich immer:
N∑
f(n) ≤
n=2
∫ N
1
f(x)dx ≤
N−1
∑
n=1
f(n).
Also ist das Integral konvergent genau dann, wenn die Reihe konvergiert. Beispiel:
f(x) = x −α , mit α > 1, dann konvergiert ∑ n −α .
Definition 8.22 (Die Γ–Funktion).
Wir definieren eine Funktion
Γ : R >0 −→ R, Γ(s) :=
∫ ∞
0
t s−1 e −t dt.
Dieses Integral konvergiert für alle s > 0, denn man hat die Abschätzungen
t s−1 e −t ≤ 1 für t > 0 nahe bei Null sowie t s−1 e −t ≤ 1 für t >> 0 nahe
bei ∞. Beide Integrale ∫ 1 dt
t 1−s t 2
und ∫ ∞ dt
konvergieren aber (siehe Beispiele
0 t 1−s 1 t 2
oben), da s > 0, also 1 − s < 1. Außerdem gilt
Γ(1) =
und nach partieller Integration
Γ(s + 1) =
∫ ∞
0
∫ ∞
0
e −t dt = −e −t | ∞ 0 = 1
t s e −t dt = −t s e −t | ∞ 0 + s ·
∫ ∞
0
t s−1 e −t dt = sΓ(s).
Die Funktion Γ(s) interpoliert also die Funktion n!, denn Γ(n + 1) = n!.
Aufgaben
Aufgabe 142. Berechnen Sie die Ober– und Untersummen
O n :=
n∑
f(x k )(x k − x k−1 )
k=1
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