Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

wegen der Funktionalgleichung. Es reicht also zu zeigen:
lim exp(x) = 1.
x→0
Wenn dies gezeigt ist, dann ist exp stetig auf R. Die Behauptung folgt aus:
Lemma 6.7 (Restglied für exp).
mit
für alle x mit |x| ≤ N+2
2 .
Beweis.
|R N+1 (x)| ≤
≤
|x|N+1
(N + 1)!
∞∑
n=N+1
∞∑
i=0
|x| n
n!
exp(x) =
N∑
n=0
|R N+1 (x)| ≤ 2 ·
x n
n! + R N+1(x),
|x| N+1
(N + 1)!
(
= |x|N+1
1 + |x|
)
(N + 1)! N + 2 + |x| 2
(N + 2)(N + 3) + · · ·
( ) i |x|
≤
(1 |x|N+1
+ 1 N + 2 (N + 1)! 2 + 1 )
4 + · · · |x| N+1
= 2 ·
(N + 1)! .
Korollar 6.8. e := exp(1) ist irrational, d.h. /∈ Q.
Beweis. Angenommen e = m n
mit n ≥ 2. Dann ist
p := n!(e − 1 − 1 1! − 1 2! − · · · − 1 n! )
ebenfalls in N und ungleich Null, da die Reihe, die e definiert noch andere positive,
von Null verschiedene Terme hat. Aus dem Lemma folgt aber
ein Widerspruch zu p ∈ N.
Beispiel 6.9. Es gilt
p = n!R n+1 (1) ≤ 2n! ·
lim
x↘0
1
(n + 1)! = 2
n + 1 < 1,
[x] = 0, lim[x] = −1,
x↗0
was nochmal die Unstetigkeit der Gaußklammer [x] bestätigt.
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