Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Aufgabe 28. Bestimmen Sie ein n 0 , so dass
( ) 2n − 1
≥ 2 n
n
für alle n ≥ n 0 und beweisen Sie dies durch Vollständige Induktion.
Aufgabe 29. Zeigen Sie,
( ) ( )
m + l n + l
≥
m n
für m ≥ n und l ≥ 0.
Aufgabe 30. Zeigen Sie, 14 | 3 3i−1 + 5 3i für alle i ≥ 1.
Aufgabe 31. Zeigen Sie,
17 teilt 5 10k−8 − 2 3+7(k−1)
für alle k ≥ 1. (Ein Zahl z ∈ Z, z < 0 ist genau dann durch l teilbar, wenn −z
durch l teilbar ist.)
Aufgabe 32. Beweisen Sie mit Vollständiger Induktion, dass für k ≥ 1 die Summe
4 2k−1 + 3 k+1 stets durch 13 teilbar ist.
Aufgabe 33. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
Aufgabe 34. Zeigen Sie für x ≠ 1,
14 teilt 5 3k−2 + 3 3k−1 ∀ k ≥ 1.
n∏
j=0
Was ist der Wert des Produktes für x = 1
(1 + x 2j) = 1 − x2n+1
1 − x .
Aufgabe 35. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · · + n(n + 1)(n + 2) = 1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3); ∀n ≥ 1.
4
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