Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Bemerkung 3.2. All diese Regeln hängen nicht von der Wahl von Repräsentanten
ab (Unbedingt selbst nachrechnen!)
Man sagt auch: die Menge Q bildet einen Körper:
Definition 3.3 (Körperaxiome).
Eine Menge K heißt Körper, falls es zwei Abbildungen
gibt mit folgenden Eigenschaften:
+ : K × K −→ K, (a, b) ↦→ a + b
· : K × K −→ K, (a, b) ↦→ a · b
(A1) ∀x, y, z ∈ K gilt (x + y) + z = x + (y + z) (Assoziativgesetz).
(A2) ∀x, y ∈ K gilt : x + y = y + x (Kommutativgesetz).
(A3) Es gibt eine Zahl 0 ∈ K mit x + 0 = 0 + x = x (Neutrales Element).
(A4) ∀x ∈ K ∃ − x ∈ K mit x + (−x) = (−x) + x = 0 (Negatives Element).
Man sagt auch: (K, +) bildet eine kommutative Gruppe.
(M1) ∀x, y, z ∈ K gilt: (xy)z = x(yz) (Assoziativgesetz).
(M2) ∀x, y ∈ K gilt: xy = yx (Kommutativgesetz).
(M3) ∃ Element 1 ∈ K, 1 ≠ 0 mit x · 1 = 1 · x = x für alle x ∈ K (Existenz der
Eins).
(M4) ∀x ∈ K \{0} ∃ x −1 ∈ K \{0} mit x·x −1 = x −1·x = 1 (Inverses Element).
(D) ∀x, y, z ∈ K gilt: x(y + z) = xy + xz (Distributivgesetz).
Korollar 3.4 (Folgerung aus dem Axiomen).
1. (K \ {0}, ·) bildet eine kommutative Gruppe.
2. 0 und 1 sind eindeutig bestimmt.
3. Das Negative oder Inverse einer Zahl x sind eindeutig bestimmt.
4. −0 = 0 und 1 −1 = 1.
5. −(−x) = x und (x −1 ) −1 = x.
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