Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

• Typische Reihen, bei denen man dieses Kriterium anwendet sind z.B. Reihen
wie ∑ n 3
5 n , denn man hat dann
| a n+1
| = (n + 1)3 · 5 n
= 1 a n n 3 · 5 n+1 5
(
1 + 1 n) 3
,
eine Folge, die gegen 1 konvergiert. Wähle nun z.B. q = 1 . Dann gilt
5
2
| ≤ q für alle n, die hinreichend groß sind.
| a n+1
a n
Satz 5.18 (Variante: Wurzelkriterium).
Sei (a n ) eine reelle Folge mit der Eigenschaft, dass eine positive Zahl q < 1
existiert mit lim sup n√ |a n | ≤ q. Dann ist ∑ a n absolut konvergent.
Beweis. Aus der Voraussetzung folgt für jedes ɛ > 0, dass |a n | ≤ q n + ɛ für fast
alle n. Also kann man nach Vergrößerung von q (immer noch < 1) annehmen,
dass |a n | ≤ q n gilt. Aus dem Majorantenkriterium und mit der geometrischen
Reihe folgt dann die Behauptung.
Beispiel 5.19. ∑ x n
ist konvergent für x ∈ R, da n√ |a
n 2n n | = |x| eine Nullfolge ist.
n 2
Satz 5.20 (Umordnungssatz von Riemann).
Ist ∑ a n eine absolut konvergente Reihe und σ : N → N eine Bijektion. Dann
konvergiert auch die Umordnung
∑
aσ(n)
absolut gegen den selben Grenzwert. Bei Reihen, die nicht absolut konvergieren,
gilt genau das Gegenteil: Ist ∑ a n konvergent, aber nicht absolut konvergent, so
gibt es für jedes c ∈ R eine Umordnung σ : N → N, so dass die Reihe ∑ a σ(n)
konvergent ist mit Grenzwert c.
Beweisidee. Die Folgenglieder a n ≥ 0 bilden eine divergente Reihe ebenso wie
die a n ≤ 0. Man summiert so lange positive Glieder, bis die Summe ≥ c ist. Dann
addiert man negative Glieder bis die Summe wieder ≤ c liegt. Ähnlich wie bei
alternierenden Reihen folgt damit die Konvergenz der neuen Reihe gegen c.
Satz 5.21 (Exponentialreihe).
Für jedes x ∈ R ist die Reihe
absolut konvergent.
e x = exp(x) :=
∞∑
n=0
x n
n!
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