Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Aufgabe 150. Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen Riemann-integrierbar
sind. Verwenden Sie dabei, dass eine Funktion Riemann integrierbar ist, falls sie
nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen besitzt.
1.
{ 1, falls x =
1
mit n ∈ N, n ≥ 1
f : [0, 1] → R, f(x) :=
n
0, sonst,
2.
{ 1
f : [0, 1] → R, f(x) :=
, falls x = p mit p, q ∈ N, p ≥ 0, q ≥ 1
q q
0, falls x irrational.
Aufgabe 151. Man berechne die Integrale
und
b)
a)
∫ x
1
∫ x
1
1
t dt
log tdt
für (x > 1) mit Hilfe von Ober- und Untersummen.
Hinweis: Verwenden Sie die Zerlegung 1 < t 0 < . . . < t N = x mit t k = x k N
k = 0, 1, . . . , N.
für
Aufgabe 152. Berechnen Sie die Ober– und Untersummen
O n :=
n∑
f(x k )(x k − x k−1 )
k=1
U n :=
n∑
f(x k−1 )(x k − x k−1 )
k=1
der Funktion f(x) = x 2 : [0, 1] → R für die Wahl der Stützstellen x k = k n .
Schliessen Sie daraus, dass f auf [0, 1] Riemann integrierbar ist und berechnen
Sie den Wert des Riemann Integrals ohne Verwendung von Stammfunktionen.
Aufgabe 153. Prüfen Sie, ob die folgenden Integrale existieren und berechnen Sie
jeweils den Wert:
∫ 2π/3
0
x 2 sin(3x)dx,
∫ 2
1
log(x)
dx,
x
∫ π
0
cos(2x) sin(x)dx,
∫ ∞
1
∫
dx 1
x , log(x+1)dx.
5/3
0
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