Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Satz 8.4 (Rechenregeln für Integrale von Treppenfunktionen).
Seien ϕ, ϕ ′ zwei Treppenfunktionen [a, b] −→ R.
(a)
(b)
(c)
∫ b
a
ϕ(x)dx +
∫ b
a
∫ b
ϕ(x) ≤ ϕ ′ (x) =⇒
a
ϕ ′ (x)dx =
λϕ(x)dx = λ
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
ϕ(x)dx ≤
(ϕ(x) + ϕ ′ (x))dx.
ϕ(x)dx.
∫ b
a
ϕ ′ (x)dx.
Beweis. Folgt aus der Definition, betrachte immer gemeinsame Unterteilung.
Beispiel 8.5 (Äquidistante Unterteilung).
Sei ϕ(x) = k k−1
auf [ , k [ und ϕ(1) = 1. Dann gilt
n n n
∫ 1
n∑ k n(n + 1)
ϕ(x)dx = = ,
n2 2n 2
0
k=1
da ∑ n
k=1 k = n(n+1)
2
, siehe §2. Dies konvergiert erwartungsgemäß nach 1/2.
Definition 8.6 (Riemann Integral).
Sei f : [a, b] −→ R eine beschränkte Funktion. Setze
∫ b ∗
a
∫ b
a ∗
f(x)dx := inf{
f(x)dx := sup{
∫ b
a
∫ b
a
ϕ(x)dx | ϕ ≥ f Treppenfunktion },
ϕ(x)dx | ϕ ≤ f Treppenfunktion }.
Diese Limiten existieren immer und werden Ober– und Unterintegrale genannt.
f heißt Riemann integrierbar oder kurz integrierbar, falls beide übereinstimmen:
∫ b ∗
a
f(x)dx =
∫ b
a ∗
f(x)dx.
Beispiel 8.7. Viele Funktionen sind nicht Riemann integrierbar in diesem Sinn:
Betrachte
{
1 x /∈ Q
f(x) =
0 x ∈ Q.
Hier gilt ∫ 1 ∗
f(x)dx = 1 und ∫ 1
f(x)dx = 0. Solche Funktionen sind aber in
0 0 ∗
einem verallgemeinerten Sinn sehr wohl integrierbar und es gilt ∫ 1
f(x)dx = 1,
0
da Q ∩ [0, 1] eine sogenannte Lebesgue Nullmenge in [0, 1] ist.
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