Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Beweis. exp ist immer ≠ 0, da sie wegen der Funktionalgleichung
exp(a) = exp(a − b) exp(b)
ansonsten identisch Null wäre, was exp(0) = 1 widerspricht.
Mit der gleichen Restgliedabschätzung wie eben folgt die Stetigkeit von exp :
C → C ∗ . Nach dem Zwischenwertsatz ist exp auch surjektiv:
exp(z) = exp(Rez) · exp(iImz)
und exp, sin und cos sind reelle stetige Funktionen mit Bildbereich exp(R) =
R >0 (dies folgt aus exp(n) ≥ 1 + n mit der Exponentialreihe und exp(−n) =
1/ exp(n)), sin(R) = cos(R) = [−1, +1] (dies folgt aus sin(π/2) = 1 = − sin(−π/2)
(nach Definition von π) und cos(0) = 1 = − cos(π)).
Der folgende Satz ist wichtig für die Existenz von Extremwerten:
Satz 6.14 (Satz vom Maximum/Minumum).
Sei f : [a, b] −→ R stetig. Dann nimmt f das Maximum und Minimum auf
[a, b] an, d.h. es gibt x max und x min in [a, b], so dass f(x max ) = sup f(x) und
f(x min ) = inf f(x).
Beweis. Für das Maximum (bei Minimum betrachte −f). Sei M = sup f(x) ∈
R ∪ {∞}. Wähle eine Folge x n ∈ [a, b] mit lim f(x n ) = M. Nach Satz 4.25
(Bolzano-Weierstraß) gibt es einen Häufungspunkt x max ∈ [a, b]. Aus der Stetigkeit
von f folgt f(x max ) = M. Also folgt die Behauptung, insbesondere M ≠
∞.
Das Maximum/Minimum kann durchaus am Rand von [a, b] angenommen werden
(Beispiel: lineare Funktion).
Gleichmäßige Stetigkeit
Für viele Funktionen ist die Konstante δ unabhängig von a ∈ D.
Definition 6.15. f : D → R (oder C) heißt gleichmäßig stetig, falls gilt:
∀ ɛ > 0 ∃δ > 0 ∀x, x ′ ∈ D mit |x − x ′ | < δ gilt |f(x) − f(x ′ )| < ɛ.
Eine gleichmäßig stetige Funktion ist in jedem Punkt von D stetig, aber die Umkehrung
gilt nicht immer.
Beispiel 6.16. f(x) = 1/x :]0, 1] → R. Setzt man x = 1/n und x ′ = 1/2n, so
gilt |x − x ′ | = 1/2n. Dies wird kleiner als jedes δ > 0. Auch ist dann |f(x) −
f(x ′ )| = n und dies wird größer als jedes ɛ. Es gibt auch Beispiele beschränkter
Funktionen, die stetig, aber nicht gleichmäßig stetig sind.
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