Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Definition 1.9 (Teilmengen).
Seien A, B Mengen.
A ⊆ B ⇐⇒ jedes Element von A ist auch Element von B.
⇐⇒ ∀ x ∈ A gilt x ∈ B.
Bemerkung 1.10. Gleichheit ist dabei eingeschlossen. Man kann auch ⊂ statt ⊆
schreiben. Für eine echte Inklusion schreibt man
A B ⇐⇒ (A ⊆ B) ∧ (∃ b ∈ B mit b /∈ A).
Es gilt A = B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
Beispiele 1.11. ∅ N Z R C usw. Die Zahlmengen R (reelle Zahlen), C
(komplexe Zahlen) werden in der Vorlesung später eingeführt.
Logische Aussagen braucht man, um Teilmengen auszuzeichnen: Ist A eine Aussage
und M eine Menge, so ist
{x ∈ M | A(x) wahr } ⊆ M
eine Teilmenge. Zum Beispiel: N = {m ∈ Z | m ≥ 1} ⊆ Z.
Definition 1.12 (Kardinalität oder Mächtigkeit).
#M = |M| = card(M) ist die Anzahl der Elemente von M, falls diese Anzahl
endlich ist.
Beispiele 1.13. Die Menge der Wochentage {Mo, Di, Mi, . . . , So} hat die Kardinalität
7. Die leere Menge hat die Kardinalität 0.
Definition 1.14 (Mengenoperationen). Seien A, B Mengen.
• A und B sind disjunkt, falls A und B keine gemeinsamen Elemente besitzen.
• Potenzmenge P (A) = {B | B ⊆ A Teilmenge}, #P (A) = 2 #A , falls
endlich.
• Vereinigungsmenge A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
• Durchschnitt A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
• Differenz A \ B = {x ∈ A | x /∈ B}.
• Symmetrische Differenz A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).
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