Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Daher ist x n monoton fallend und beschänkt, konvergiert also gegen inf{x n | n ≥
1}. Nach den Rechenregeln für Folgen (Satz 4.13/4.14) gilt demnach:
lim x n = lim x n+1 = 1 (
lim x n +
c )
.
2 lim x n
(
Bezeichnet man diesen Limes mit a, so gilt also a = 1 2 a +
c
a)
und damit a 2 = c,
also a = √ c.
Beispiel 4.32. Diese Methode ist sehr schnell und fehlerkorrigierend (ohne Beweis).
Betrachtet man c = 2, so kann man die folgenden Werte berechnen: x 0 = 1,
x 1 = 1.5, x 2 = 1.416666..., x 3 = 1.414215686.... Der genaue Wert bis auf
28 Stellen ist übrigens √ 2 = 1.414213562373095048801688724. Dies kann man
ziemlich schnell z.B. mit der freien Software SAGE berechnen.
Aufgaben
Aufgabe 49. Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie
ggfs. den Grenzwert:
(a) u n = (−2) n (n 3 +1) 2
.
(n+1) n
(b) v n = (−1) n n3
(n−1) 3 .
(c) w n = 1+3+5+...+(2n−1) − n+1.
6n+5 6
(d) x n = n4 +2
− n5 −3n 3
.
n 2 −4 n 3 +1
Aufgabe 50. Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie
ggfs. den Grenzwert:
(a) u n = 1+2+3+...+n .
n 2
(b) v n = 12 +2 2 +3 2 +...+n 2
.
n 3 . n
(c) x n = (−1) n n+1
(d) x 1 = 0, x 2m = x 2m−1
, x
2 2m+1 = x 2m + 1 2
(für m ≥ 1).
Aufgabe 51.
(a) Sei 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... die Fibonaccifolge, definiert durch a 0 = 0, a 1 =
1 sowie die Vorschrift a n+2 = a n + a n+1 . Berechnen Sie lim a n+1
a n
.
(b) Sei x n eine konvergente, reelle Folge mit x 1 = 1 und der Eigenschaft x n+1 =
1 + 1
1+x n
. Berechnen Sie lim x n .
Aufgabe 52. Betrachten Sie die Abzählung von Q mit dem Diagonalverfahren
aus §3. Dies definiert eine Folge (a n ) in Q. Zeigen Sie, dass diese Folge jedes
x ∈ Q als Häufungspunkt besitzt. Hinweis: Approximieren Sie x durch Brüche
mit größer werdenden Nennern.
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