Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Beweis. Nur für den Fall ∞ und x ↗ b, sonst ähnlich.
Zuerst Spezialfall: Sei f :]a, ∞[−→ R differenzierbar mit lim x→∞ f ′ (x) = c ∈ R.
f(x)
Dann ist auch lim x→∞ = c.
x
Beweis dafür: Durch Betrachtung der Funktion g(x) = f(x) − cx kann man
annehmen, dass c = 0 ist. Sei ɛ > 0 gegeben. Es gibt ein x 0 ∈]a, ∞[ mit
|f(x) − f(x 0 )| ≤ ɛ/2(x − x 0 ) für alle x ≥ x 0 . Ist x ≥ max(x 0 , 2|f(x 0 )|/ɛ),
so folgt
∣ ∣ f(x)
∣∣∣ ∣ x ∣ ≤ f(x) − f(x 0 )
∣∣∣ x ∣ + f(x 0 )
x ∣ ≤ ɛ/2x − x 0
+ ɛ/2 = ɛ.
x
Hieraus folgt der Spezialfall.
Allgemeiner Fall: Da g ′ ≠ 0 ist, ist g : I → R streng monoton wachsend auf I.
Es gilt also g(I) =]ρ, ∞[ mit ρ = lim x↘a g(x). Sei ϕ = g −1 : g(I) −→ I die
Umkehrfunktion. Betrachte h = f ◦ ϕ : g(I) −→ R. Es gilt nach der Kettenregel
und dem Satz über die Umkehrfunktion
Also gilt auch
Aus dem Spezialfall folgt dann auch
h ′ (y) = f ′ (ϕ(y))ϕ ′ (y) = f ′ (ϕ(y))
g ′ (ϕ(y)) .
f ′ (x)
lim
y→∞ h′ (y) = lim
x↗b g ′ (x) = c.
h(y)
lim
y→∞ y
= c.
Also ist mit y = g(x)
f(x)
lim
x↗b g(x) = lim h(y)
y→∞ y
= c.
Das Newton–Verfahren
Numerisches Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von Funktionen. Die iterative
Formel
x n+1 := x n − f(x n)
f ′ (x n )
kann geometrisch so interpretiert werden, dass man an jeden Näherungswert x n
die Tangente zieht und als bessere Näherung den Schnittpunkt davon mit der x–
Achse nimmt. Mathematisch präziser formuliert:
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