Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

• f(x) = x und x k = k (siehe oben).
n
• f(x) = 1/x und x k = a k/n . Dann ist eine Riemannsche Summe
S n := O n = ∑ f(x k )(x k −x k−1 ) = ∑ a k n − a k−1
n
a k n
= n(1−a − 1 n ) = n(1−exp(−
1
n log(a))).
Aus der Restgliedformel folgt also, dass S n = log(a) + O(1/n) und damit
∫ a
1
dx
x = log(a).
Satz 8.13 (Mittelwertsatz der Integralrechnung).
Sind f, g stetige Funktionen auf I = [a, b] mit g ≥ 0. Dann gibt es ein x 0 ∈ [a, b]
mit (siehe auch Spezialfall g ≡ 1!)
∫ b
a
f(x)g(x)dx = f(x 0 )
∫ b
a
g(x)dx.
Beweis. Beachte zuerst, dass g ≥ 0 stetig ist, also ist entweder g = 0 überall
(dann ist die Aussage trivial) oder g ≠ 0. In diesem Fall ist aber das Integral
∫
g(x)dx ≠ 0, da g mindestens auf einem kleinen Intervall der Länge δ > 0
wirklich ≥ ɛ ist und damit kann man das Unterintegral durch δ · ɛ beschränken.
Sei c = inf f(I) und C = sup f(I). Dann ist
c ≤ c 0 :=
∫ b
a f(x)g(x)dx
∫ b
a g(x)dx ≤ C.
Nach dem Zwischenwertsatz für f gibt es ein x 0 mit f(x 0 ) = c 0 .
Satz 8.14.
Sei f : [a, b] −→ R stetig. Dann ist F (x) = ∫ x
f(t)dt differenzierbar auf [a, b]
a
und es gilt F ′ (x) = f(x).
Beweis. Indem man Integrationsgebiete aufteilt, beweist man leicht den Hilfssatz:
∫ d
a
f(x)dx =
für a ≤ c ≤ d ≤ b. Damit folgt
F ′ (x) = lim
h→0
F (x + h) − F (x)
h
∫ c
a
1
= lim
h→0 h
f(x)dx +
87
∫ x+h
a
∫ d
c
f(x)dx
1
f(t)dt−lim
h→0 h
∫ x
a
1
f(t)dt = lim
h→0 h
∫ x+h
x
f(t)dt.