Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

gilt f = f + − f − und |f| = f + + f − . Ist f integrierbar, so auch f + und f − , denn
für die entsprechenden Treppenfunktionen z.B. für f + gilt:
∫ b
a
(ϕ ′ +(x) − ϕ + (x))dx ≤
∫ b
a
(ϕ ′ (x) − ϕ(x))dx.
Also ist |f| integrierbar und es gilt wegen der Dreiecksungleichung und (c):
∫ b
∣∫ ∣∣∣ b ∫ b
∫ ∣ f(x)dx
∣ = b ∫ b
f + (x)dx − f − (x)dx
∣ ≤ f + (x)dx+ f − (x)dx =
a
a
a
(g) Es ist fg = 1 2 ((f+g)2 −(f−g) 2 ), also reicht es zu zeigen, dass |f| p integrierbar
ist für p ≥ 1. Der Fall p = 1 wurde schon gezeigt und wir können annehmen,
dass 0 ≤ |f| ≤ 1 gilt nach Multiplikation mit λ. Sei ɛ > 0 gegeben und seien
0 ≤ ϕ ≤ |f| ≤ ϕ ′ ≤ 1 Treppenfunktionen mit
∫ b
a
(ϕ ′ (x) − ϕ(x))dx ≤ ɛ/p.
Dann sind ϕ p , (ϕ ′ ) p auch Treppenfunktionen mit ϕ p ≤ |f| p ≤ (ϕ ′ ) p . Aus dem
Mittelwertsatz und (x p ) ′ = px p−1 folgt, dass (ϕ ′ ) p − ϕ p ≤ p(ϕ ′ − ϕ). Also ist |f| p
integrierbar nach (b).
Definition 8.10 (Feinheit von Unterteilungen).
Sei Z : x 0 = a < . . . < x n = b eine Unterteilung. Dann hat Z die Feinheit
µ(Z) := max(x i − x i−1 ).
Satz 8.11 (Riemannsche Summen).
Ist f Riemann integrierbar auf [a, b] und ɛ > 0 gegeben. Dann existiert ein δ > 0,
so dass für jede Unterteilung Z mit µ(Z) ≤ δ und jede von Stützstellen ξ i ∈
[x i−1 , x i ] gilt: ∣ ∣∣∣∣ ∫ b
n∑
f(x)dx − f(ξ i )(x i − x i−1 )
∣ ≤ ɛ.
a
i=1
Beweis. Sei ɛ > 0 gegeben. OBdA ist f schon selbst eine Treppenfunktion wegen
Satz 8.8(b). Sei a = t 0 < . . . < t m = b die Unterteilung, die f definiert. f(x)
und die Treppenfunktion h(x), die durch die Wahl der ξ i definiert wird stimmen
auf den Intervallen ]x k−1 , x k [ überein, die kein t j enthalten. Die Gesamtlänge der
Intervalle, wo beide nicht übereinstimmen ist also ≤ 2mµ(Z). Ist C = sup |f(I)|,
so folgt |f(x) − h(x)| ≤ 2C und damit ∫ |f(x) − h(x)|dx ≤ 4Cmµ(Z). Hieraus
folgt die Behauptung mit δ = ɛ/4Cm.
Beispiele 8.12.
a
a
∫ b
a
|f(x)|dx.
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