Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Die Formel exp(iϕ) = cos(ϕ) + i sin(ϕ) definiert Sinus und Cosinus wie oben.
Die Multiplikation von komplexen Zahlen in dieser Darstellung ist gegeben durch
zw = |z|e i arg(z) |w|e i arg(w) = |z||w|e i(arg(z)+arg(w)) ,
d.h. Winkel werden addiert und Beträge multipliziert. Alle komplexen Zahlen mit
Betrag 1 liegen auf den Einheitskreis
S 1 := {z ∈ C | |z| = 1}
und sind von der Form z = e iϕ . Hiermit ergeben sich die nützlichen Moivreschen
Formeln:
exp(iϕ) n = exp(inϕ) = cos(nϕ) + i sin(nϕ)
für alle n ∈ N. Die Einheitswurzeln sind komplexe Lösungen der Gleichung
z n = 1.
Mit Polarkoordinaten kann man sofort alle Lösungen hinschreiben:
Metrische Räume
ζ := exp(2πik/n), k = 0, ..., n − 1.
Die Konvergenz von Folgen und Reihen, sowie Cauchyfolgen lassen sich allgemeiner
auch in metrischen Räumen definieren:
Definition 5.37. Ein metrischer Raum ist eine Menge M mit einer Abstandsfunktion
d : M × M −→ R + ,
so dass gilt:
(MR1) d(x, y) ≥ 0 und d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
(MR2) d(x, y) = d(y, x).
(MR3) (Dreiecksungleichung) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ M.
Beispiele 5.38.
• M = R mit der Abstandsfunktion d(x, y) = |x − y|.
• M = R n (Euklidischer Raum) mit der Abstandsfunktion
d((x 1 , . . . , x n ), (y 1 , . . . , x n )) = √ (x 1 − y 1 ) 2 + · · · + (x n − y n ) 2 .
Dies ist der gewöhnliche Längenbegriff im Raum (n = 3).
• Die komplexen Zahlen C mit d(z, w) = |z − w|.
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