Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Die rationalen Zahlen als angeordneter Körper
Definition 3.14 (Anordnung der rationalen Zahlen).
Erinnerung: x = a ∈ Q heißt
b
positiv: x > 0, falls a > 0 ∧ b > 0 oder a < 0 ∧ b < 0
negativ: x < 0, falls a < 0 ∧ b > 0 oder a > 0 und b < 0
oder Null: x = 0.
Definition 3.15 (Axiome für einen angeordneten Körper). Sei K ein Körper.
(O1) Für jedes x ∈ K ist entweder x > 0, x = 0 oder x < 0 (Trichotomie).
(O2) x > 0 und y > 0 =⇒ x + y > 0.
(O3) x > 0 und y > 0 =⇒ x · y > 0.
Ein Körper heißt angeordnet, falls die Axiome (O1)–(O3) gelten. Man setzt x ≥ 0,
falls x > 0 oder x = 0 gilt.
Beispiel 3.16. Q, R sind angeordnet. Der Körper F 2 = {0, 1} mit 2 Elementen
und 1 + 1 = 0 ist nicht angeordnet: Würde 1 > 0 (oder 1 < 0) gelten, so widerspricht
dies 1 + 1 = 0. Der Körper der komplexen Zahlen C ist ebenso nicht
angeordnet (wird später eingeführt).
Definition 3.17. Sei K angeordnet.
x > y, falls x − y > 0.
x ≥ y, falls x − y ≥ 0.
x < y, falls x − y < 0.
x ≤ y, falls x − y ≤ 0.
Korollar 3.18 (Folgerungen aus den Axiomen).
(1) Für je 2 Elemente x, y gilt entweder x > y oder x = y oder x < y.
(2) Transitivität: Ist x < y und y < z, so gilt auch x < z (genauso für ≤).
(3) x < y =⇒ c + x < c + y für alle c ∈ K.
(4) Negative Elemente: x < y =⇒ −x > −y.
(5) x < y und u < v =⇒ x + u < y + v.
(6) x < y und a > 0 =⇒ ax < ay.
(7) 0 < x < y und 0 < a < b =⇒ ax < by.
(8) x < y und a < 0 =⇒ ay < ax.
(9) a ≠ 0 =⇒ a 2 > 0.
(10) a > 0 ⇔ a −1 > 0.
(11) 0 < x < y =⇒ x −1 > y −1 .
(12) a 2 = 0 ⇔ a = 0.
Beweis. (1) Dies folgt direkt aus (O1).
(2) Dies folgt aus (O2), da (y − x) + (z − y) = z − x.
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