Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Allgemeiner sind Polynome leicht zu differenzieren, indem man jeden Term so
behandelt.
(5) f(x) = 1 : Inverse von x: Dann gilt
x
f ′ (x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
(
1 1
= lim
h→0 h x + h − 1 )
= lim
x h→0
(6) f(x) = exp(x) Exponentialfunktion: Dann gilt
exp ′ (x) = lim
h→0
exp(x + h) − exp(x)
h
= exp(x) lim
h→0
exp(h) − 1
h
−1
x(x + h) = −−1 x 2 .
= exp(x)
wegen des folgenden Lemmas. Also reproduziert sich die Exponentialfunktion
beim Differenzieren.
Lemma 7.3.
exp(h) − 1
lim
h→0 h
= 1.
Beweis. Aus der Restgliedformel für exp folgt | exp(h) − (1 + h)| ≤ 2|h| 2 , falls
|h| klein ist. Also folgt
exp(h) − (1 + h)
∣ h ∣ ≤ 2|h|
und damit die Behauptung.
Beispiel 7.4.
(7) f(x) = sin(x) Sinus: Es gilt sin(x + h) − sin(x) = 2 cos(x + h) sin( h) nach
2 2
§5, also folgt
f ′ sin( h
(x) = cos(x) lim
) 2
.
h→0
h
Damit folgt f ′ (x) = cos(x) aus dem folgenden Lemma.
Lemma 7.5.
sin(h)
lim
h→0 h
= 1.
Beweis. Wir beweisen eine Restgliedformel. Aus der Potenzreihenentwicklung
2
sin(x) =
∞∑
k=0
(−1) k x 2k+1
(2k + 1)!
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