Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Definition 3.5 (Absolutbetrag).
Ist x ∈ Q (jetzt wieder K = Q), so sei
{
−x,
|x| =
+x,
Definition 3.6 (Potenzrechnung).
Sei x ∈ Q und n ∈ N. Definiere:
Satz 3.7.
Es gelten folgende Regeln
x = a , a, b falls a,b verschiedenes Vorzeichen haben,
b
x = a , a, b falls a,b gleiches Vorzeichen haben.
b
x 0 := 1,
x n := x } ·{{ · · x}
n − Mal
x −n := (x n ) −1 = (x −1 ) n .
(a) x n x m = x n+m
(b) (x n ) m = x nm
∀m, n ∈ Z, x ∈ Q
∀m, n ∈ Z, x ∈ Q
(c) x n y n = (xy) n ∀n ∈ Z, x, y ∈ Q.
Beweis. (a) Nach Umstellung der Gleichung kann man m, n ∈ N annehmen, indem
man negative Potenzen auf die andere Seite der Gleichung bringt.
x n · x m =
(x} ·{{ · · x} · (x } · {{ · · x } ).
n − Mal m − Mal
Nach dem Assoziativgesetz ist dies
(b)
(c)
x n+m = } x ·{{ · · x}
(m + n) − Mal.
(x n ) m = (x} ·{{ · · x} . . . . . . (x } · {{ · · x } )
n − Mal
n − Mal
m − Mal
= x nm nach dem Assoziativgesetz.
x n y n = (x · · · x)(y · · · y) = (xy) · (xy) · · · (xy) = (xy) n
mit Kommutativ– und Assoziativgesetz.
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