Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Satz 2.12. Die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge {1, . . . , n}
ist n!. Allgemeiner ist die Kardinalität der bijektiven Abbildungen σ : M → N
mit |M| = |N| = n auch n!.
Beweis. Induktion über n.
Induktionsanfang n 0 = 1: M = {1} hat nur eine Permutation 1 ↦→ 1.
Induktionsvoraussetzung: (etwas allgemeiner) Die Anzahl der bijektiven Abbildungen
σ : M → N ist n!, falls |M| = |N| = n.
Induktionsschritt: Teile alle Bijektionen so auf:
P 1 = {σ | σ(n + 1) = 1}
P 2 = {σ | σ(n + 1) = 2}
.
P n+1 = {σ | σ(n + 1) = n + 1}
In P 1 bildet σ die Zahlen 1, . . . , n bijektiv auf {2, . . . , n + 1} ab. Davon gibt es
n! Stück nach Induktionsvoraussetzung. Ebenso für P 2 , . . . , P n+1 . Also gibt es
insgesamt (n + 1) · n! = (n + 1)! Permutationen.
Definition 2.13. Σ n (oder auch S n ) ist die Menge alle Permutationen von n Elementen,
die sogenannte symmetrische Gruppe. Sie hat n! viele Elemente.
Aufgaben
Aufgabe 18. Beweisen Sie: Das Produkt n(n + 1)(n + 2) dreier aufeinanderfolgender
Zahlen ist durch 6 teilbar.
Aufgabe 19. Beweisen Sie die binomische Formel ∑ n
( n
)
k=0 k x n−k y k = (x + y) n
mit vollständiger Induktion für alle n ∈ N 0 .
Aufgabe 20. Beweisen Sie die Formel ∑ n
k=1 k3 = n2 (n+1) 2
4
mit vollständiger Induktion
für alle n ∈ N 0 .
Aufgabe 21. Die Fibonaccizahlenfolge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... ist definiert durch
a 0 = 0, a 1 = 1 sowie die Vorschrift a n+2 = a n + a n+1 . Beweisen Sie die Formel
a n = gn −(1−g)
√ n
5
für alle n ∈ N 0 . Dabei ist g = 1+√ 5
∈ R.
2
Hinweis: g erfüllt die Gleichung g 2 = g + 1.
Aufgabe 22. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
1.
n∑
(−1) v+1 v 2 n+1 n(n + 1)
= (−1)
2
v=1
für alle n ∈ N, n ≥ 1;
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