Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

(b) surjektiv genau dann, wenn
Mit anderen Worten: f deckt B ab.
∀ b ∈ B ∃ a ∈ A mit f(a) = b.
(c) bijektiv ⇐⇒ f injektiv ∧f surjektiv.
Mit anderen Worten: A und B sind nicht unterscheidbar.
Beispiele 1.22. Die identische Abbildung: id M : M → M, x ↦→ x, ist bijektiv.
f : R → R, x ↦→ f(x) = x 3 , ist bijektiv.
exp: R → R, x ↦→ e x , ist injektiv, aber nicht surjektiv.
f : R → R + , x ↦→ x 2 , ist surjektiv, aber nicht injektiv.
Definition 1.23 (Komposition von Abbildungen).
Seien Abbildungen f : A → B und g : B → C gegeben. Man definiert dann:
g ◦ f : A → C, (g ◦ f)(a) := g ( f(a) ) ∈ C.
Man sieht dann leicht (siehe Aufgaben): Sind f, g injektiv (surjektiv, bijektiv), so
ist auch g ◦ f injektiv (surjektiv, bijektiv). Ist g ◦ f surjektiv, so ist g surjektiv. Ist
g ◦ f injektiv, so ist f injektiv.
Definition 1.24 (Umkehrabbildung).
Sei f : A → B eine bijektive Abbildung. Eine bijektive Abbildung g : B → A
heißt Umkehrabbildung, falls f ◦ g = id B , g ◦ f = id A . Man schreibt auch
g = f −1 .
Man konstruiert f −1 , indem man wegen der Bijektivität von f für jedes b ∈ B
genau ein a ∈ A mit f(a) = b findet.
Relationen und kartesisches Produkt
Definition 1.25 (Kartesisches Produkt). Seien A, B Mengen. Das Kartesische
Produkt ist die Menge
A × B := {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
aller Paare (a, b) für a ∈ A und b ∈ B. Zwei Paare (a, b) und (c, d) sind dabei
genau dann gleich, falls a = c und b = d gilt. Paare heißen auch 2er-Tupel oder
2–Tupel.
Beispiel 1.26 (Graph einer Abbildung).
Der Graph einer Abbildung f : A → B ist die Teilmenge
Γ f := {(a, b) | b = f(a), a ∈ A} ⊆ A × B.
9