Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Satz 8.19.
(a) Sei f : [c, d] −→ R stetig und ϕ : [a, b] −→ R stetig differenzierbar (d.h. ϕ ′
stetig) mit ϕ([a, b]) ⊆ [c, d]. Dann gilt die Substitutionsregel:
∫ d
c
f(ϕ(t))ϕ ′ (t)dt =
∫ ϕ(b)
ϕ(a)
f(x)dx.
(b) Sind f, g : [a, b] −→ R stetig differenzierbar, dann gilt die Partielle Integrationsregel:
∫ b
a
f(x)g ′ (x)dx = f(x)g(x)| b a −
∫ b
a
f ′ (x)g(x)dx.
Beweis. (a) folgt aus der Kettenregel, angewandt auf die Funktion F ◦ ϕ, wobei
F eine Stammfunktion von f ist.
(b) folgt aus der Produktregel für F = fg.
Beispiele 8.20. • f(x) = 1/x. Dann gilt für 1 ≤ a ≤ b:
∫ b
a
ϕ ′ ∫
(t) ϕ(b)
ϕ(t) dt =
ϕ(a)
dx
x = log ϕ(x)|b a.
• ∫ b
•
∫ b
log(x)dx =
a
a
dx
1 − x = 1 ∫ b
2 2 a
∫ b
a
dx
1 − x + 1 ∫ b
2 a
1·log(x)dx = x log(x)| b a−
dx
1 + x = 1 2 log x + 1
x − 1 |b a.
Uneigentliche Integrale und Anwendung auf Reihen
∫ b
a
x· dx x = x(log(x)−1)|b a.
∫ b
Sei f : [a, b] −→ R integrierbar für alle b ≥ a. Außerdem existiere lim b→∞ f(x)dx =
a
c ∈ R. Dann setzt man
∫ ∞
a
f(x)dx := c
und nennt es uneigentliches Integral. Analog definiert man ∫ b
f(x)dx und ∫ ∞
f(x)dx
−∞ −∞
und den Fall wenn man (statt ±∞) eine Grenze des Definitionsbereichs hat.
Beispiele 8.21.
1 1
ist
x α
• ∫ ∞
1
1−α x1−α und
dx
x α
existiert für α > 1, denn eine Stammfunktion von
lim
x→∞ x1−α = lim exp((1 − α) log(x)) = 0.
x→∞
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