Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Beispiel 5.4. q = 1 2 , dann ∑ n
k=0 qk = 2.
Satz 5.5 (Rechenregeln).
Sind ∑ a n und ∑ b n konvergente Reihen und u, v ∈ R, so konvergiert auch die
Reihe ∑ (u · a n + v · b n ) mit dem Grenzwert (u · ∑ a n + v · ∑ b n ). Man sagt auch:
Das Reihensymbol ∑ ist linear.
Beweis. Wende Satz 4.13 bzw. sein Korollar auf die Partialsummenfolge an.
Beispiel 5.6. Teleskopsummen treten häufig auf, wie eben in der geometrischen
Reihe. Ein beliebtes Beispiel ist die Reihe
∞∑
n=1
∞
1
n(n + 1) = ∑
( 1
n − 1 )
.
n + 1
n=1
Aufeinanderfolgende Terme heben sich auf, so dass gilt
also ∑ ∞
n=1
1
n(n+1)
s n = 1 − 1
n + 1 ,
= 1. Weitere Beispiele in den Übungen.
Ebenso wie reelle Folgen, können auch Reihen uneigentlich divergieren. Nun betrachten
wir
Satz 5.7 (Konvergenzkriterien für Reihen).
In jeder konvergenten Reihe ∑ a n ist die Folge (a n ) eine Nullfolge.
Beweis. Die Folge der Partialsummen s n konvergiert. Insbesondere ist sie eine
Cauchyfolge. Wählt man m = n + 1, so gilt daher:
∀ɛ > 0 ∃N mit |s n+1 − s n | < ɛ ∀n ≥ N.
Da s n+1 − s n = a n+1 ist, folgt insbesondere, dass (a n ) eine Nullfolge ist.
Beispiele 5.8. Die Harmonische Reihe ∑ 1
ist divergent, denn es gilt:
n
s 2 m = 1 + 1 ( 1
2 + 3 + 1 ) ( 1
+
4 5 + · · · + 1 + · · · ≥ 1 +
8)
m 2 ,
da jede Klammer ≥ 2 m−1 · 2 −m = 1 ist. Die Reihen ∑ 1
2
falls k > 1 ist.
n k
konvergieren dagegen,
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