Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Definition 4.26 (Uneigentliche Konvergenz, Bestimmte Divergenz).
Sei (a n ) eine reelle Folge. (a n ) heißt bestimmt divergent oder uneigentlich konvergent
gegen +∞, falls zu jedem C ∈ R ein N ∈ N existiert, so dass a n > C
für alle n ≥ N.
(a n ) heißt bestimmt divergent gegen −∞, falls (−a n ) bestimmt divergent gegen
+∞ ist. Falls eine Folge bestimmt divergiert, schreiben wir auch
lim a n = ±∞
n→∞
und bezeichnen ±∞ als den Grenzwert oder Limes.
Beispiele 4.27.
• a n = n ist bestimmt divergent gegen +∞.
• a n = −n ist bestimmt divergent gegen −∞.
• Allgemeiner ist jede monotone Folge eigentlich oder uneigentlich konvergent.
• a n = (−1) n n ist nicht bestimmt divergent, sondern einfach nur divergent.
Definition 4.28.
(a) Der größte Häufungspunkt oder Limes Superior einer Folge (a n ) reeller Zahlen
ist
lim sup a n := lim sup{a k | k ≥ n} ∈ R ∪ {±∞}.
n→∞ n→∞
(b) Der kleinste Häufungspunkt oder Limes Inferior einer Folge (a n ) reeller Zahlen
ist
lim inf a n := lim inf{a k | k ≥ n} ∈ R ∪ {±∞}.
n→∞ n→∞
Beachte 4.29. In beiden Fällen ist sup{a k | k ≥ n} bzw. inf{a k | k ≥ n} eine
monoton fallende bzw. wachsende Folge. Also existieren die Grenzwerte, sind
aber eventuell uneigentlich, d.h. ±∞, wenn diese Folgen unbeschränkt sind.
Satz 4.30.
lim sup a n und lim inf a n sind tatsächlich Häufungspunkte von (a n ). Für jeden
anderen Häufungspunkt x gilt
lim inf
n→∞
a n ≤ x ≤ lim sup a n .
n→∞
Die Folge (a n ) ist konvergent (eigentlich oder uneigentlich) genau dann, wenn
lim inf a n = lim sup a n .
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