Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

6 Funktionen und Stetigkeit
Inhalt: Funktionen, Stetigkeit, Zwischenwertsatz, Satz vom Maximum/Minimum,
Umkehrfunktion, spezielle Funktionen.
Definition 6.1. Sei D ⊆ R oder D ⊆ C eine Teilmenge und f : D → R oder
f : D → C eine Abbildung. f ist stetig in a ∈ D, wenn gilt:
∀ɛ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : |x − a| < δ =⇒ |f(x) − f(a)| < ɛ.
f heißt stetig in D, falls f stetig ist in allen a ∈ D.
Ist – etwas allgemeiner – f : M → N eine Abbildung zwischen metrischen
Räumen mit Abstandsfunktionen d M : M × M → R und d N : N × N → R, so
definiert man: f ist stetig in a ∈ M, falls gilt:
∀ɛ > 0 ∃ δ > 0 ∀x ∈ M : d M (x, a) < δ ⇒ d N (f(x), f(a)) < ɛ.
Die Mengen {x ∈ M | d M (x, a) < δ} heißen auch δ–Umgebungen von a ∈ M.
Beispiele 6.2. • Konstante Funktion: f(x) = c für alle x ∈ D. Konstante
Funktionen sind stetig, denn |f(x) − f(a)| = 0 für alle x.
• Treppenfunktion: f(x) = 0 für x < 0 und f(x) = 1 für x ≥ 0. f ist stetig
für x ≠ 0, denn dort ist f konstant. In x = 0 ist f unstetig, wähle dort ɛ = 1,
um einen Widerspruch zu erhalten.
• Geraden oder lineare Funktionen: f(x) = ax + b. Lineare Funktionen sind
ebenfalls stetig (wähle δ = ɛ/|a|).
• Spezialfall Identische Funktion: f(x) = x.
• Gaußklammer: f(x) = [x]. Diese Funktion ist stetig, außer in allen x ∈ Z
(Beweis wie bei der Treppenfunktion).
• Absolutbetrag: f(x) = |x|. f ist stetig in D = R, was für x = 0 direkt aus
der Definition folgt. Nahe x ≠ 0 ist f konstant und damit auch stetig.
• Polynome: f(x) = a m x m + · · · + a 1 x + a 0 (z.B. f(x) = x 3 − 1). Polynome
sind Summen von Produkten stetiger Funktionen, also wieder stetig (Beweis
mit folgendem Satz).
• Rationale Funktionen: f(x) = p(x)/q(x), wobei p, q Polynome sind (z.B.
f(x) = 1/x). Rationale Funktionen stetig, wo sie definiert sind, also wo
q(x) ≠ 0 ist, siehe den folgenden Satz.
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