Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

2. Geben Sie ein Beispiel für eine Folge mit diesen Eigenschaften an!
Aufgabe 59. Beweisen Sie: Es seien (a n ) n≥1 und (b n ) n≥1 konvergente Folgen mit
lim n→∞ a n = a und lim n→∞ b n = b. Setze c n = max(a n , b n ). Dann existiert der
Grenzwert von (c n ) n≥1 , und es gilt lim n→∞ c n = max(a, b).
Aufgabe 60. Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und berechnen
Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
1. (a n ) n≥1 mit a n = (n+1)3 −n 3
n 2 ,
2. (b n ) n≥1 mit b n =
n 3
1+2+...+n − 2n,
3. (c n ) n≥1 mit c n = (−1)n n 2
(n+1) 2 ,
4. (d n ) n≥2 mit d n = ( ( ) (
1 − 2) 1 1 −
1
3 . . . 1 −
1
n)
,
Aufgabe 61. Untersuchen Sie folgende Folgen auf Konvergenz und bestimmen
Sie gegebenenfalls den Grenzwert (es ist jeweils das nte Folgeglied angegeben):
a) 1−n
1− √ n , b) 1 n 2 ∑ n
j=1 j, c) ∏ (1 − 1 n 2 ) n ,
d) (−1) n n
3n+1 , e)√ 9n 2 + 2n + 1 − 3n, f) n2 +5n
3n 2 +1 ,
g) 1+22 +...+n 2
n 3 , h) 1 + q + q 2 + . . . + q n , i) q n für q < 1,
j) (1 + 1 n )n für n ≥ 1 (Satz von de L’Hospital).
Aufgabe 62. Berechnen Sie limes inferior und limes superior der Folgen (b n ) n≥1
und (c n ) n≥1 . Können Sie konvergente Teilfolgen entdecken
b n = n + (−1)n (2n + 1)
und c n = (−1) n (3 + 2 n
n ).
Aufgabe 63. Sind die folgenden Folgen konvergent oder divergent Begründen
Sie die Antwort und berechnen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert.
(
1 + 2n + 3n2
a n = , b
5n 2 n = n2 − n
− 4
n + 1 − n3 + 1
n 2 − 1 , c n = 1 + 1 ) n
2
,
2n
d n = 2n
n! , e n =
5n 2
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) .
Aufgabe 64. Zeigen Sie: Eine reelle Folge (a n ) ist genau dann konvergent, wenn
min(a n , 0) sowie max(a n , 0) konvergent sind.
43