Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

Aufgabe 106. Zeigen Sie, dass es zu jedem a ∈ R genau ein x > 0 gibt mit
x + ln x = a. Beweisen Sie weiterhin, dass die dadurch definierte Funktion
g : R → R, a → x
stetig und streng monoton wachsend auf R ist.
Aufgabe 107. Man konstruiere eine beschränkte, stetige Funktion f : R → R,
die aber nicht gleichmäßig stetig ist.
Aufgabe 108. Drücken Sie cos( π ) durch Quadratwurzeln aus.
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Anleitung: Es sei θ := π und 4θ = π − θ. Man verwende die für alle reellen
Zahlen x gültigen Beziehungen (i) cos(x) = sin ( π
− x) , (ii) sin(x) =
10 2
2
cos ( π
− x) , (iii) sin(2x) = 2 sin x cos x, (iv) cos(2x) = 2(cos(x)) 2 − 1 auf
2
folgende Weise: Mit (i) und (iii) beweise man cos(θ) = 4 sin(θ cos(θ) cos(2θ),
mit (ii) und (iv) dann 1 = 8 cos(2θ) 3 − 4 cos(2θ). Schließlich untersuche man
f(x) := (2x + 1)(4x 2 − 2x − 1).
Drücken Sie auch cos( π ), sin( π) sowie sin( π ) durch Quadratwurzeln aus.
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Aufgabe 109. Gilt die folgende Aussage: Falls eine Funktion f : [a, b] → R jeden
Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt, dann ist f stetig
Hinweis: Betrachte die Funktion:
{ x für rationales x
f(x) =
1 − x für irrationales x.
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