Skript zur Vorlesung Analysis 1 im SS2011 - Johannes Gutenberg ...

8 Integralrechnung
Inhalt: Treppenfunktionen, Riemann Integral, Rechenregeln, Stammfunktionen,
Hauptsatz der Differential–/Integralrechnung, Uneigentliche Integrale.
Wir betrachten beschränkte Funktionen f : [a, b] −→ R mit a, b ∈ R.
Definition 8.1 (Unterteilung, Treppenfunktion).
Eine Unterteilung von [a, b] ist eine endliche Menge von Teilpunkten:
Z : a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b.
Z ′ : a = y 0 < y 1 < . . . < y m = b mit m ≥ n ist eine Verfeinerung von Z,
falls gilt x i−1 = y ki−1 < . . . < y ki = x i . Je zwei Unterteilungen besitzen eine
gemeinsame Verfeinerung durch Vereinigung der Teilpunkte.
f : [a, b] −→ R ist eine Treppenfunktion, falls eine Unterteilung Z von [a, b] existiert,
so dass f konstant auf den Teilstücken ]x i−1 , x i [ ist. Welches Verhalten f in
x i hat ist dabei egal.
Man sieht leicht, dass Summen und Linearkombinationen von Treppenfunktionen
wieder solche sind, wenn man die Unterteilung anpasst (durch eine gemeinsame
Verfeinerung der Unterteilung im Fall der Summe).
Definition 8.2 (Integral für Treppenfunktionen).
∫ b
a
f(x)dx :=
n∑
c i (x i − x i−1 ),
i=1
wobei c i der konstante Wert von f auf ]x i−1 , x i [ ist. Dies entspricht dem Flächeninhalt
von f unter seinem Graphen.
Lemma 8.3. Diese Definition hängt nicht von der Wahl der Unterteilung ab.
Beweis. Spezialfall: Sei Z ′ : a = y 0 < y 1 < . . . < y m = b eine Verfeinerung von
Z, d.h. x i−1 = y ki−1 < . . . < y ki = x i . Dann gilt
n∑
c i (x i − x i−1 ) =
i=1
n∑
i=1
c i
∑k i
j=k i−1 +1
(y j − y j−1 ) =
m∑
c j (y j − y j−1 ),
j=1
da c j = c i für k i−1 ≤ j ≤ k i . Sind Z, Z ′ nicht vergleichbar, so betrachte eine
gemeinsame Verfeinerung und wende den Spezialfall an.
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